La non-additivité des vitesses est une propriété physique démontrée et vérifiée expérimentalement. En effet, si les vitesses étaient additives, alors la somme de certaines valeurs pourrait excéder le maximum de cette grandeur (c). Pour faciliter la lecture du texte, j’appellerai la loi relativiste de composition des vitesses «adjonction» et je noterai cette opération ⨤ : «presque plus, ou adjoint à».
Si a et b sont deux vitesses exprimées en unités maximums (c=1), alors l’équivalence entre l’adjonction et l’addition est : a ⨤ b <=> (a+b) / (1+ab).
Par exemple : 0,5 c ⨤ 0,5 c <=> (0,5 + 0,5) / (1 + 0,5 · 0,5) = 1/1,25 = 0,8 c et non pas 1 c, comme le suggère l’addition. Cette équivalence résulte de l’application des transformations de Lorentz, qui sont utilisées par la relativité restreinte.
Étonnamment, on peut démontrer que les longueurs et les durées ne sont pas additives non plus.
Si les longueurs étaient additives, alors physiquement, on observerait :
• (1 m + 1 m) = 2 m
En parcourant ces distances en une seconde, on observerait :
• (1 m + 1 m) / 1 s = 2 m / 1 s
La division étant distributive par rapport à l’addition, on observerait :
• (1 m / 1 s) + (1 m / 1 s) = 2 m / 1 s, ce qui peut s’écrire :
• 1 m/s + 1 m/s = 2 m/s
Or, ce n’est pas ce qu’on observe. Cette dernière équation est physiquement inexacte, car elle n’utilise pas la bonne loi de composition (⨤). La différence est infime, mais selon ce qui précède, on calcule que 1 m/s ⨤ 1 m/s = (1+1) / (1+1/c2) m/s ≈ 1,999 999 999 999 999 978 m/s.
De façon analogue, si on suppose les durées additives, alors physiquement, on observerait :
• (1 s + 1 s) = 2 s
En accélérant de 1 m/s2 pendant ces durées, on observerait :
• 1 m/s2 · (1 s + 1 s) = 1 m/s2 · 2 s
La multiplication étant distributive par rapport à l’addition, on observerait :
• (1 m/s2 · 1 s) + (1 m/s2 · 1 s) = 1 m/s2 · 2 s
Ce qui correspond l’addition des vitesses décrite précédemment et physiquement inexacte :
• 1 m/s + 1 m/s = 2 m/s
Ces équations montrent que l’additivité des longueurs ou des durées implique celle des vitesses. Comme on observe que les vitesses ne sont pas additives, les longueurs et les durées ne le seraient pas non plus. C’est ce qu’on appelle une démonstration par l’absurde.
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