Métrique d'Epstein

[Tom200]

Bonjour,

connaissez-vous la métrique d'Epstein ?

https://arxiv.org/pdf/2004.10505.pdf

Elle a l'air intéressante car elle est euclidienne. Elle pourrait être étudiée ici si quelqu'un en a envie et s'en sent capable.
-----

[Deedee81]

Salut,

connaissez-vous la métrique d'Epstein ?

Non, mais j'ai regardé dans l'article.

Elle a l'air intéressante car elle est euclidienne.

C'est pas plutôt sa signature qui est euclidienne ? (ça on a plutôt l'habitude dans ce domaine)

Elle pourrait être étudiée ici si quelqu'un en a envie et s'en sent capable.

Je ne crois pas que ce soit approprié ici. Because la charte (et plus généralement le rôle d'un forum). Mais s'il y a des plublications sur la métrique d'Epstein, pourquoi pas les citer (j'ai cherché mais pas trouvé, bon, j'ai cherché très rapidement aussi ) ?

[mach3]

Bien que le PP ne puisse plus répondre, ce sujet m'a intrigué et j'ai fini par comprendre. Je livre aux lecteurs silencieux mon analyse.

Il s'agit d'une bijection entre les géodésiques de genre temps d'une variété lorentzienne statique et les géodésiques d'une variété riemannienne.
Bien noter d'abord le "statique", qui signifie que la variété admet une expression de la métrique dont les coefficients ne dépendent pas de la coordonnée temporelle et dont les coefficients rectangles temps-espace sont nuls. Cela limite énormément le domaine d'application (Minkowski, Schwarzschild, quelques autres "curiosités" et c'est tout), et ce n'est notamment pas du tout applicable à FLRW ni à l'espace-temps réels qui ne sont pas statiques.
Bien noter aussi qu'il s'agit des géodésiques de genre temps uniquement.
Bien noter enfin que la bijection concerne les géodésiques et uniquement les géodésiques, il n'y a pas de correspondance entre évènements de la variété lorentzienne et les points de la variété riemannienne. Un exemple simple permet de le montrer.

On prend l'espace-temps de Minkowski (limité à 1D+1D) avec des coordonnées , la métrique s'y exprimant , et on y considère 3 géodésiques d'équations , et . Elles s'intersectent aux évènements A, B et C. Listons les variations de temps propre et de temps coordonnée le long des géodésiques entre ces évènements selon la métrique de Minkowski :
,
,
,
(la somme des durées propres AB et BC est inférieure à la durée propre AC, résultat classique de l'expérience de pensée de Langevin)

La variété Riemannienne dont les géodésiques correspondent est ici le plan euclidien, avec les coordonnées , la métrique s'y exprimant . Les géodésiques de cette variété correspondant aux trois géodésiques considérées ont des équation de la forme , , avec k,l,m trois constantes (les géodésiques sont en effet invariantes par translation dans notre cas). Posons l'hypothèse qu'il y a une correspondance entre évènements de l'espace-temps 1D+1D de Minkowski et points du plan euclidien. On doit donc poser k=l, et même k=l=0 (on est libre de choisir, on veut juste que les deux premières géodésiques se croisent en ). Il faut que l'on choisisse m convenablement, de façon à ce que les variations de temps propre et de temps coordonnée le long des géodésiques entre les évènements soient les mêmes.
Les points d'intersections entre ces géodésiques sont A', B' et C'.
Listons les variations de temps propre et de temps coordonnée le long des géodésiques entre ces évènements selon la métrique d'Euclide cette fois :
,
,
,

Des variations entre A' et C', on déduit que pour avoir les mêmes variations de temps propre et de temps coordonnée chez Minkowski entre A et C et chez Euclide entre A' et C'. Si on remet cela dans les variations entre A' et B' (ou B' et C'), on obtient :
,
Ces variations sont trop importantes d'un facteur si on compare A'B' à AB (et on obtient le même résultat pour B'C' comparé à BC). Si on mappe A vers A' et C vers C' (ce que l'on a fait en fixant ), B' ne correspond pas à B. Un simple dessin montre cette impossibilité bien plus vite que le calcul qui précède.

La métrique d'Epstein permet donc d'étudier les géodésiques de genre temps d'un espace-temps statique de façon originale (les cas présentés sur la métrique de Schwarzschild dans le bouquin d'Epstein cité dans la publication du premier post sont très intéressants à visualiser), mais pas l'espace-temps lui-même car la variété Riemannienne n'est pas en bijection avec la variété lorentzienne.
Pour avoir une bijection entre évènements de la variété lorentzienne et points de la variété riemannienne, il faut définir précisément le champ scalaire en fonction de t et x (ce qu'on s'est bien gardé de faire et qui m'a longtemps perturbé dans la compréhension de ce sujet), mais ce faisant on perdra la majorité des correspondances entre géodésiques de l'un et de l'autre.

m@ch3

[Deedee81]

Salut,

La métrique d'Epstein permet donc d'étudier les géodésiques de genre temps d'un espace-temps statique de façon originale (les cas présentés sur la métrique de Schwarzschild dans le bouquin d'Epstein cité dans la publication du premier post sont très intéressants à visualiser), mais pas l'espace-temps lui-même car la variété Riemannienne n'est pas en bijection avec la variété lorentzienne.

Merci de ton analyse pointue. C'est beaucoup plus clair.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

Autre point qui mérite d'être préciser, la variété Riemannienne avec laquelle il y a correspondance avec les géodésiques de genre temps de la variété Lorentzienne n'est pas forcément unique.
Exemple donné dans le papier cité, la variété Riemannienne correspondante à l'expression de la métrique de Minkowski en coordonnées de Rindler est différente de celle qui correspond à l'expression en coordonnées de Lorentz. Pour chaque expression de la métrique d'une même variété lorentzienne qui exprime la staticité, on aura une correspondance potentiellement différente.

Ca limite encore plus la portée du truc : la variété Riemannienne n'est même pas spécifique de la variété Lorentzienne mais peut dépendre du choix de système de coordonnée dans cette variété.

m@ch3

[Trictrac]

Un livre pour apprendre cette approche géométrique :
https://www.relativity.li/en/epstein2/read
Pour la rendre physiquement possible il faut considérer que le temps n'est pas une dimension vectorielle mais seulement scalaire comme dans les quaternions et comme dans notre intuition. (https://arxiv.org/pdf/1706.04837.pdf)

[Trictrac]

Après étude de l'espace-temps des quaternions, je rétracte qu'ils soient compatibles avec la métrique d'Epstein. D'ailleurs la métrique d'Epstein (placer le temps propre en coordonnée de temps) n'est probablement pas compatible avec la réalité physique.

[oualos]

Je n'ai pas le niveau des intervenants sur ce topic mais je me souviens fort bien que Einstein dans son ouvrage de vulgarisation sur la Relativité signale cette métrique comme issue de Minkowski.
Et que si l'on transforme t en it, on obtient une norme quadratique euclidienne.
Mais par la suite il ne fera pas de développement d'aucune sorte sur ce sujet: ce résumé dans le livre fait à peine 2 pages.
Et il ne comporte aucune conclusion.