Dimensions et orientation

[jeansebj]

Bonjour,
Peut-on concevoir un univers dans lequel, pour chaque dimension, on pourrait aller non pas juste dans un sens ou l'autre d'une ligne mais dans des directions permises par un espace à plusieurs dimensions ?
Je me posais cette question en me disant qu'on représente parfois nos 3 dimensions spatiales par 3 axes : haut/bas, avant/arrière et droite/gauche. Je sais aussi qu'on peut théoriser des univers avec des dimensions enroulées sur elles-mêmes, ce qui suppose que la ligne dans laquelle peut s'orienter cette dimension peut être courbée jusqu'à être un cercle. Je me disais alors : mais pourquoi ne pas carrément imaginer que ça puisse être une surface, ou même tout espace à n dimensions ?
Est-ce que ma question est absurde ?
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[Gilgamesh]

Bonjour,
Peut-on concevoir un univers dans lequel, pour chaque dimension, on pourrait aller non pas juste dans un sens ou l'autre d'une ligne mais dans des directions permises par un espace à plusieurs dimensions ?
Je me posais cette question en me disant qu'on représente parfois nos 3 dimensions spatiales par 3 axes : haut/bas, avant/arrière et droite/gauche. Je sais aussi qu'on peut théoriser des univers avec des dimensions enroulées sur elles-mêmes, ce qui suppose que la ligne dans laquelle peut s'orienter cette dimension peut être courbée jusqu'à être un cercle. Je me disais alors : mais pourquoi ne pas carrément imaginer que ça puisse être une surface, ou même tout espace à n dimensions ?
Est-ce que ma question est absurde ?

Dans la cosmologie branaire, dans le prolongement des théories de Kaluza-Klein, on trouve effectivement cette idée que nous vivrions dans un espace à 3+N dimensions spatiales, que les cordes ouvertes (représentant les particules du Modèle standard) seraient confinées à la 3-brane constituant l'espace usuel tandis que les cordes fermées (gravitons) pourraient, elles, se déplacer dans au moins une dimension suplémentaire (higher dimensional bulk) ce qui résoudrait le problème hiérarchique (le fait que la gravité soit une force si incroyablement faible comparée aux trois autres).


Un schéma (incroyablement technique) pour illustrer cela.
source: Lectures on String/Brane Cosmology

[jeansebj]

"cette idée que nous vivrions dans un espace à 3+N dimensions spatiales" : ce n'est pas cette idée que j'ai émise. Je me suis mal exprimé peut-être. En fait je crois que c'est ma question qui est absurde...

[Gilgamesh]

Effectivement en relisant plus soigneusement, la question c'est : pourquoi 1 dimension ne pourrait pas être 2 (ou plus) dimensions, ce qui en effet n'a pas grand sens.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Bonjour. Cela peut avoir un sens, c'est ce qu'on appelle une somme d'espaces vectoriels. Les dimensions s'additionnent quand on fait la somme des espaces. Si par exemple on considère que localement on est sur une variété qui est approximativement comme l'espace vectoriel , on peut aussi le considérer comme une somme . De même si on remplace la troisième dimension par un plan on a c'est-à-dire un espace à 4 dimensions. Plus concrètement, si on repère un point du plan par deux coordonnées et si on veut représenter les points du troisième axe par deux coordonnées on a 4 dimensions: . De même pour 3 coordonnées, la somme en demandera 5: , etc.

[jeansebj]

Attribuer à une dimension non pas une coordonnées mais plusieurs, c'est effectivement intéressant : pouvoir considérer la somme de plusieurs dimensions comme une seule en mathématiques, je pense que ça se rapproche pas mal du sujet de ma question. Peu importe la nature spatiale ou temporelle de la dimension j'imagine. Mais si je ne m'abuse : ce n'est qu'une astuce mathématique, car si on décompose on en revient toujours à des dimensions à une coordonnée, c'est bien ça ?

[ThM55]

Oui, bien sûr. Vous avez bien compris ce que j'ai voulu dire.

Cela dit, du point de vue purement mathématique, ce que j'ai décrit n'est qu'un petit aspect de la notion de dimension, celui qui vient de l'algèbre linéaire: le nombre maximal de vecteurs linéairement indépendants. En physique, c'est le cadre différentiel des variétés qui met cette notion au centre, du fait de l'existence d'un espace tangent qui est un vectoriel. Mais les mathématiques contiennent d'autres définitions, en particulier venant de la topologie. On se place alors dans un cadre plus général, peut-être plus satisfaisant pour l'esprit, celui de l'homologie. Cela donne des outils puissants pour démontrer des propriétés à des nombres de dimensions supérieurs (et même infinis). Il y a aussi dans l'étude des fractales la notion de dimension de Hausdorff, qui est fractionnaire.

A ma connaissance ces notions plus générales n'ont pas encore trouvé d'applications vraiment sérieuses en physique.

[jeansebj]

Merci de ces précisions. Le but en recherche fondamentale n'est en fait que l'assouvissement de notre curiosité, ni plus ni moins. Les applications restent accessoires, un bonus quoi.