Physique et nouveaux "Nombres"

[azizovsky]

3)Une des formulations originale des équations de Maxwell par Maxwell utilisait les quaternions alors que les notations vectorielles ne sont apparues que plus tard. Je considère comme un progrès important l'élimination des quaternions de l'électromagnétisme

c'était la représentation vectorielle qui'a scindé les choses, ,pour un quaternion, une écriture simple , tôt au tard, cette écriture aurait fusionner le potentiel scalaire et potentièl vecteur au sein d'une simple représentation, et.....
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[azizovsky]

une autre fusion en BI-quaternion hyperbolique :
,



avec et et .
(mes carreaux m'attend demain )

[azizovsky]

correction ==>(déterminat) .

[Médiat]

Bonjour,

Merci de vos réflexions

1) la notion "d'ensemble de nombres" est relativement vague et je ne suis pas sûr que ce soit la plus adaptée pour comprendre l'usage de certains concepts mathématiques en physique (et même en mathématique...: par exemple, je ne connais pas de "théorie" permettant d'étudier les "ensembles de nombres" alors que l'algèbre commutative permet d'étudier efficacement de nombreux exemples "d'ensembles de nombres").

J'avoue ne pas comprendre où vous voulez en venir, j'utilise ici l'expression "Ensemble de Nombres" comme un raccourci, ceux dont je parle ici sont essentiellement, pour ne pas dire uniquement, des hypercomplexes.

2) je ne suis pas convaincu par l'intérêt des octons et sédéons. C'est probablement dû à ma lecture plus que superficielle des références fournies mais je ne vois pas de motivation physique et/ou mathématique. Les équations de champs classiques sont extrêmement simples en notations vectorielles usuelles et je n'ai pas vraiment trouvé d'expression plus simple.

Je n'ai pas les connaissances suffisantes en physique pour en juger, mais les reviewer de la revue "International Journal of Theoretical Physics" semblent trouver cela intéressant ...

3)Une des formulations originale des équations de Maxwell par Maxwell utilisait les quaternions alors que les notations vectorielles ne sont apparues que plus tard. Je considère comme un progrès important l'élimination des quaternions de l'électromagnétisme. En particulier, les équations de Maxwell font sens en n'importe quelle dimension d'espace-temps alors que les quaternions ne s'appliquent qu'en dimension 4. En un sens, utiliser les quaternions simplement pour formuler les équations de Maxwell en dimension 4 obscurcit la structure générale sous-jacente. Bien sûr, si on s'intéresse à des propriétés spécifiques à la dimension 4, alors l'usage des quaternions peut être utile et même essentiel. Ma conclusion: les structures "exceptionnelles" devraient être utilisées pour étudier les problèmes "exceptionnels" et pas autrement (remarque: il existe beaucoup de problèmes "exceptionnels" en physique).

Justement, ne serait-il pas intéressant de trouver une formulation non liée à la dimension (comme les multicomplexes par exemple) et offrant tout l'arsenal lié à la notion même d'algèbre ?

J'ai l'impression que vous opposez "Ensemble de Nombres" et "Espace Vectoriel", alors que les "Ensembles de Nombres" dont il est question ici sont des algèbres, donc des "Espaces Vectoriels", mais avec des outils supplémentaires.

4)Il me semble que les physiciens ne sont pas a priori intéressés par de nouveaux "ensembles de nombres". Les physiciens ne sont pas intéressés par les algèbres de Clifford en tant qu'"ensembles de nombres" choisis au hasard mais en tant qu'objet algébrique essentiel pour comprendre la théorie des représentations des groupes spinoriels et orthogonaux. Les notions de groupes/symétries/représentations sont d'un intérêt physique plus évident que la notion d'"ensemble de nombres". De même, les quaternions et octonions n'apparaissent souvent pas en tant qu'"ensemble de nombre" mais en tant que structure algébrique sous-jacente à des isomorphismes exceptionnels entre groupes/algèbres de Lie en basse dimension.

Là vous êtes en train de dire que je surestime l'intérêt physique de ces ensembles, et cela répond donc aux question que je posais.

Une remarque néanmoins, vous faites une différence que je ne comprends pas entre "Ensemble de Nombres" et "Structure algébrique sous-jacente", car, pour moi, un ensemble de nombres n'est rien d'autre que la structure algébrique "sous-jacente".

[invitedd63ac7a]

Je reviens avec quelques statistiques. Entre 1991 et fin 2013, environ 15000 articles (*) de physique ont été publiés sur l'archive internet (arXiv.org).
Une recherche faite avec le mot clé quaternion renvoie 814 articles contenant ce mot dans l'abstract. Ce qui donne approximativement un pourcentage de 5 % d'articles faisant référence de près ou de loin aux quaternions. Cette recherche ne tiens pas compte des éventuels documents multiples par auteur et suppose qu'en physique quaternion/ quaternionic fait référence à l'algèbre des quaternions des mathématiciens. Si cette statistique fait sens, il apparait donc que la proportion de physiciens utilisant les quaternions est loin d'être négligeable.

(*) arXiv.org Statistiques

[Médiat]

Bonjour,

Pour les quaternions j'en ai bien conscience, voir mon message #54, et c'est ce qui renforce mon étonnement.

[invite51d17075]

j'ajoute qu'il ne fut pas nécessaire de faire de la "haute" physique pour faire appel aux quaternions.
je vous cites un exemple vécu au début des années 90, dans le domaine des images de synthèse.
domaine qui semble à priori "facile" pour le plus grand nombre, car "ludique" dans ses buts et résultats.

un des pb majeur de l'animation était celui de l'articulation des membres ( et par exemple de l'épaule ).
les quarternions furent indispensables en remplacement des modèles de rotation en phi,théta qui imposait une singularité.

les maths proposent, l'ingenierie et la physique disposent.
Cdt

[invite47ecce17]

Bonjour,
Il faut voir aussi que d'un point de vue mathématique ces "ensembles de nombres" ne semblent pas non plus d'une importance fondamentale.
C'est deja vrai pour les quaternions par exemple, en fait, dans le monde mathémétique ils occupent un role qui me semble beaucoup moins fondamental que, par exemple, les corps de nombre p-adiques (il existe d'ailleurs une mecanique quantique p-adique).

A l'heure d'aujourdh'ui il me semble que les interactions les plus fructueuses entre les maths et la physique proviennent de la géométrie (enfin au moins en physique des hautes energies, il en serait tres different je pense en physique de la matière condensé probablement, et la physique des hautes energies presente cette particularité remarquable que c'est a peu pres le seul domaine à ma conaissance, ou l'echange avec les maths se fait dans les deux sens). Or en geométrie l'ensemble le plus important reste l'ensemble des nombres complexes qui est au carrefour de "toutes les géométries possible" si l'on peut dire (differentielle, analytique, algébrique et meme symplectique).

Si je voulais aller dans le sens de questionement de Mediat, il me semblerait que je me poserais la question plutot des géométries non-archimediennes et de leurs interactions avec la physique (qui ont l'heur d'etre des theories aussi riches mathématique que la géométrie complexe ou la géométrie differentielle). Et je crois que les interactions sont non nulles (comme la mecanique quantique p-adique par exemple).

[Médiat]

Bonjour,

Il faut voir aussi que d'un point de vue mathématique ces "ensembles de nombres" ne semblent pas non plus d'une importance fondamentale.

Je suis "presque" parfaitement d'accord avec cela

C'est deja vrai pour les quaternions par exemple, en fait, dans le monde mathémétique ils occupent un role qui me semble beaucoup moins fondamental que, par exemple, les corps de nombre p-adiques (il existe d'ailleurs une mecanique quantique p-adique).

Si j'ai écrit "presque", c'est à cause des théorèmes de classification comme ceux de Frobénius, Hurwitz ou plus récemment ceux de Bresar, P. Semrl & Spenko.

Pour les p-adiques, voir par exemple : B. Dragovich, A. Yu. Khrennikov, S. V. Kozyrev, I. V. Volovich, http://arxiv.org/abs/0904.4205 "p-Adic Mathematical Physics", Institute of Physics Belgrade Serbie, Växjö University Suède, Steklov Mathematical Institute Moscou Russie, 2009.

J'en profite pour réitérer : je ne fais pas la promotion de ces ensembles de nombres, et mon étonnement n'a rien de "fondamental", au contraire, il est totalement circonstanciel.

La première expression de cet étonnement vient des Hyper-Duaux (dans ce cas c'est uniquement pour les calculs sur des ordinateurs et non de la physique théorique), qui devrait, selon moi, être le seul ensemble de nombre utilisé dans les bibliothèques mathématiques dans tous les langages informatiques (avec surcharge), et le déclencheur fut la remarque des reviewers sur les Octons.

Il ne me viendrait pas à l'idée de m'étonner que les Ordinaux ne soient pas utilisés en physique (à ma connaissance), et encore moins de me plaindre que les idées géniales des mathématiciens ne soient pas utilisées par les physiciens, et encore moins que les idées géniales des mathématiciens ne soient qu'au service de la physique(*).
Je n'ai listé dans un message précédent que des ensembles réellement utilisés par des physiciens et parfois (Octons, Sédéons) même pas étudiés par des mathématiciens (à ma connaissance).

géométries non-archimediennes

Je ne connais pas, je vais voir si c'est à ma portée.

(*) Je sais, j'ai utilisé deux fois l'adjectif "géniales" pour les idées des mathématiciens et pas une seule fois pour les idées des physiciens, c'est uniquement pour alimenter les fantasmes de certains, après tout, si cela leur fait du bien ...

[EDIT]JE viens de jeter un rapide coup d'oeil à 2 document sur les géométries non archimédiennes (http://math.stanford.edu/~conrad/papers/aws.pdf et http://www.maths.usyd.edu.au/u/austm...t13Jonsson.pdf), dans le deuxième je lis une phrase qui me ravit :

Why non-Archimedean Geometry ?
General curiosity!

[azizovsky]

Salut, il y'a aussi la redécouverte des mathématiciens des outils des physiciens : http://www.ahm.msh-paris.fr/Video.as...VideoWithShots
ou http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...e_l'indice
même si c'est E.Cartan qui les a introduit en 1913 (je crois)
(voir: the theory of spinors : E.Cartan)

[stefjm]

Il y a aussi les nouvelles fonctions genre dirac, dérivée de l'échelon qui étendent la notion de fonction. Trouvé d'abord par un physicien (Paul Dirac) formalisé ensuite par un mathématicien (distributions, Laurent Schwartz).
Mais je suis peut-être hors sujet...

[invite51d17075]

il me semble que tu dérives un peu.
les distributions , c'est autre chose, et j'en connais un rayon.

[Médiat]

Bonsoir,

En aucun cas le sujet n'est l'apport des mathématiques à la physique ou l'apport de la physique aux mathématiques, cf. mes messages précédents.

[invite6c250b59]

Après avoir fait de très nombreuses recherches sur le net concernant les "Ensembles de Nombres" plus ou moins exotiques, j'ai eu l'impression (peut-être fausse) qu'assez peu de physiciens étaient très impliqués dans l'étude de ce type d'outils

C'est une question intéressante, mais as-tu considéré sa réciproque?

Par exemple si je cherche naïvement un type de nombre dont je souhaite qu'il me permette de faire des représentations en 2d et dont la multiplication corresponde à un facteur d'échelle et à la rotation... évidement l'exemple n'est pas au hasard, on tombe sur les nombres complexes. Est-ce que tu connais des gens qui cherchent à créer des types de nombre pour représenter des phénomènes physiques intéressants, par exemple disons des accélérations dans le cadre de la relativité générale (où il serait intéressant d'avoir des méthodes de calculs un peu moins abstruses)?

Personnellement j'ai l'impression qu'il y a plus d'intérêt de la part des physiciens a essayer de nouveaux types de nombre (par exemple les hypercomplexes en MQ) qu'il n'y a de mathématiciens intéressés à créer des nouveaux types de nombre spécifiquement pour leur intérêt physique plutôt qu'en fonction de considérations mathématiques (par exemple les quaternions comme conséquence de la construction de Cayley-Dickson plutôt que comme moyen efficace de calculer des mouvements articulés). Ou c'est une fausse impression?

[Médiat]

Est-ce que tu connais des gens qui cherchent à créer des types de nombre pour représenter des phénomènes physiques intéressants,

Par exemple les Mironov père et fils qui ont mis au point les octons et les sédéons.

Ou c'est une fausse impression?

Non, mais que les mathématiciens aient des préoccupations mathématiques et les physiciens des préoccupations physiques n'est pas très étonnant, d'autant plus, comme l'a fait remarquer MiPaMa, que ces ensembles de nombres ne représentent pas un intérêt mathématique majeur (au détail que j'ai déjà soulevé près)

[invite6c250b59]

Par exemple les Mironov père et fils qui ont mis au point les octons et les sédéons.

Vraiment? Quels sont les phénomènes physiques qu'ils cherchaient à simplifier/réexprimer?

(PS: question stupide au passage: octons et sédéons sont de meilleurs termes que octonion et sédénion?)

[invite29cafaf3]

[EDIT]JE viens de jeter un rapide coup d'oeil à 2 document sur les géométries non archimédiennes (http://math.stanford.edu/~conrad/papers/aws.pdf et http://www.maths.usyd.edu.au/u/austm...t13Jonsson.pdf), dans le deuxième je lis une phrase qui me ravit :

J'avoue ne pas savoir comment interpréter le : "qui me ravit" ? La phrase citée "Why non-Archimedean Geometry ? General curiosity!" tirée de son contexte dans l'article de Mattias Jonsson peut être interprétée de pas mal de façons, telle que vous la présentez !

[Médiat]

Les octons et les sédéons sont différents des octonions et des sédénions ; il y a plein de référence là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post5018496

[Médiat]

J'avoue ne pas savoir comment interpréter le : "qui me ravit" ?

Je voulais juste dire que découvrir des mathématiques par curiosité et non pour un intérêt particulier me ravit, à rapprocher de l'alpiniste George Mallory à qui on demandait pourquoi il voulait gravir l'Everest et qui répondit :

Parce qu'il est là

[invite1a0bde5a]

Bonjour,

Ceci est un fil que j'ai pris particulièrement plaisir à lire.

Je trouve la démarche intellectuelle de Médiat particulièrement intéressante.

Mais même si les discussions qui ont eu lieu tout au long de ce fil étaient intéressantes, la proposition de Médiat l'est encore plus : une simple reformulation d'une équation peut apporter un éclairage nouveau sur le phénomène étudié (j'enfonce des portes ouvertes, mais fallait le dire. Et insister dessus.).

[invite6c250b59]

Les octons et les sédéons sont différents des octonions et des sédénions

Ah ok merci! J'avais survolé ton doc, mais complètement raté les vrais références. En fait tu n'es pas spécialement intéressé par la question de départ de ce fil, c'est simplement une façon d'attirer l'attention sur ces travaux. Pas de problème, mais àmha ce serait plus efficace de donner les références directement:

http://ipmras.ru/~Mironov/Publicatio...d_order_QM.pdf
http://ipmras.ru/UserFiles/publicati...rodinamics.pdf
http://www.worldscientific.com/doi/a...17751X13501121
http://link.springer.com/article/10....773-013-1768-z
http://ipmras.ru/~Mironov/Publications/SEDEONS_ENGL.pdf
http://arxiv.org/abs/1111.4035
http://arxiv.org/abs/1206.5969
http://vixra.org/abs/1311.0005
http://dx.doi.org/10.4236/am.2013.410A3007
http://www.scirp.org/journal/PaperIn...5#.U7EggJTuTao

(PS: il y a un vixra dans le lot, j'ai cru comprendre que ce n'est pas spécialement un bon signe)

[Médiat]

En fait tu n'es pas spécialement intéressé par la question de départ de ce fil, c'est simplement une façon d'attirer l'attention sur ces travaux.

Insultant à plusieurs titres et complètement débile pour qui que ce soit qui connaît mon incompréhension totale de la physique et mon peu d'intérêt pour celle-ci !

[Médiat]

Bonjour,

Ce fil ne servant qu'à exprimer les fantasmes des uns et des autres, il n'a plus aucun intérêt ; merci néanmoins à ceux qui ont à la fois compris la question et apporté des réponses, en particulier à 0577.


Ce fil étant sans intérêt d'après le primo-posteur : on ferme,

Médiat, pour la modération