Physique et nouveaux "Nombres"

[CM63]

Bonjour,

Dans le document Ensembles de nombres, que nous a signalé Mediat, et dont, par ailleurs je vous conseille la lecture, car il est passionnant, j'ai trouvé la réflexion édifiante suivante:

Les Réels sont omniprésents dans les modèles physiques, mais totalement absents des mesures, ce qui fait que, dans la pratique, les physiciens utilisent essentiellement les nombres Rationnels.

Ce n'est pas aux physiciens de n'utiliser que les notions qui passent par la tête des mathématiciens, mais plutôt aux mathématiciens de créer les bases théoriques dont ont besoin les physiciens. Effectivement les nombres utilisés en mesures n'ont aucune base théorique, mais il faut plutôt s'en prendre aux mathématiciens qu'aux physiciens. Qu'en pensez-vous?

A plus.
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[Médiat]

Bonjour,

1) je ne comprends comment vous avez comprendre cette phrase (que j'assume totalement) comme une agression envers les physiciens,
2) je ne comprends pas pourquoi vous affirmez que les rationnels n'ont aucune base théorique
3) j'aurais même pu affirmer que, dans la pratique les physiciens utilisent une part infime des rationnels
4) si vous avez un besoin théorique, écrivez le cahier des charges de ce besoin et si cela présente un intérêt mathématique, je suis certain qu'il se trouvera un mathématicien dans le monde pour le théoriser
5) ce qui passe par la tête des mathématiciens, ce sont des mathématiques, que vous en ayez l'usage ou non est la dernière de mes préoccupations

[CM63]

Bonjour,

1) je ne comprends comment vous avez comprendre cette phrase (que j'assume totalement) comme une agression envers les physiciens,

Eh bien c'est pourtant clair, dans cette phrase on dit en substance : "ces physiciens, ils sont incapables de trouver des applications pratiques aux nombres qui nous passent par la tête, à nous les mathématiciens", alors que ce serait plutôt aux physiciens de dire : "ces mathématiciens, ils sont incapables de construire les bases théoriques dont nous les physiciens avons besoin".

2) je ne comprends pas pourquoi vous affirmez que les rationnels n'ont aucune base théorique

Je n'ai jamais dit cela, je dis que les nombres utilisés en mesures n'ont aucune base théorique.

3) j'aurais même pu affirmer que, dans la pratique les physiciens utilisent une part infime des rationnels

Tout à fait. Ou plutôt, si on établissait la base théorique des nombres utilisés en mesure, on trouverait, peut-être, que ces nombres sont inclus dans les rationnels.

4) si vous avez un besoin théorique, écrivez le cahier des charges de ce besoin et si cela présente un intérêt mathématique, je suis certain qu'il se trouvera un mathématicien dans le monde pour le théoriser

Je vous en remercie. Je préfère cette réflexion à celle qui suit.

5) ce qui passe par la tête des mathématiciens, ce sont des mathématiques, que vous en ayez l'usage ou non est la dernière de mes préoccupations

En effet, les besoins théoriques des physiciens sont la dernière des préoccupations des mathématiciens, c'était bien l'objet de mon post. Mais, donc disais-je plus haut, cette réflexion contredit la réflexion n° 4.

Bonne journée.

[CM63]

Je continue la lecture de ce document, qui est au demeurant intéressant. Peut-être que j'y trouverai une définition de nombres s'approchant de ceux utilisés en mesure. Mais je peux déjà dire que,contrairement à ce que dit la citation, les physiciens n'utilisent pas les nombres rationnels. Lorsque je mesure une tension de 1.5V, je suis incapable de dire si après le 5 il y a des 0 à partir d'un certain rang ou pas. On utilise des nombres dont on ne maîtrise pas exactement la substance, il faudrait peut-être qu'un physicien s'y colle, comme Einstein pour le calcul tensoriel.

De même, les nombres utilisés par les numériciens ne sont pas exactement les nombres dyadiques.

A plus

[Médiat]

Eh bien c'est pourtant clair, dans cette phrase on dit en substance : "ces physiciens, ils sont incapables de trouver des applications pratiques aux nombres qui nous passent par la tête, à nous les mathématiciens", alors que ce serait plutôt aux physiciens de dire : "ces mathématiciens, ils sont incapables de construire les bases théoriques dont nous les physiciens avons besoin".

Je vous laisse à vos fantasmes, comme l'indique ma remarque N° 5, je me fous complètement que les physiciens utilisent ou non les mathématiques que je produis (et entre nous, vu ma spécialité il n'y a pas beaucoup de chance que cela arrive de si tôt), c'est leur problème, ou plutôt, leur solution.

Je n'ai jamais dit cela, je dis que les nombres utilisés en mesures n'ont aucune base théorique.

Et comme j'ai écrit dans la phrase incriminée que c'était les rationnels, c'est donc bien ce que vous avez écrit, comme chacun peut le constater

Tout à fait. Ou plutôt, si on établissait la base théorique des nombres utilisés en mesure, on trouverait, peut-être, que ces nombres sont inclus dans les rationnels.

Combien de fois faut-il vous écrire que cela existe !

En effet, les besoins théoriques des physiciens sont la dernière des préoccupations des mathématiciens, c'était bien l'objet de mon post. Mais, donc disais-je plus haut, cette réflexion contredit la réflexion n° 4.

Pas du tout, si un physicien a une idée intéressante concernant les mathématiques il n'y a aucune raison de la rejeter, par contre, historiquement, les physiciens utilisent, dans la plupart des cas, des mathématiques qui ont été mises au point longtemps avant leur utilisation, et sans aucune préoccupation de ce type ; ce qui est bien normal, il est difficile d'utiliser des concepts qui n'ont pas encore été inventé.

Encore une fois, si vous avez un besoin, écrivez le cahier des charges au lieu de rejeter la fautes sur les autres, si quelque chose vous manque dans l'arsenal mathématique, vous en êtes le seul coupable !

[Médiat]

les physiciens n'utilisent pas les nombres rationnels. Lorsque je mesure une tension de 1.5V

Tiens, un rationnel

[jacquolintégrateur]

Bonjour à tous
Les quaternions sont, en fait, les spineurs de rang deux de l'espace à trois dimensions et définissent donc une représentation "irréductible" du groupe des rotations à 3D. Ils permettent de définir l'ensemble du groupe sur l'intervalle 0, pi plutôt que 0,2pi ce qui semble simplifier les circuits des plateformes d'inertie. Peut-être est-ce la raison de leur succès ? Cela posé, il me semble difficile (bien que non impossible) de faire de la physique sans recourir au calcul des tenseurs, les spineurs étant à peu près inévitables en MQ. Dans tous les cas, il s'agit d'algèbre multilinéaire. En dehors des "nombres spéciaux", un chapitre des math très utile en physique me semble être la théories des fonctions "spéciales": Bessel, fonctions sphériques, les unes et les autres rattachées à l'opérateur div.grad ou "laplacien". Les intégrales elliptiques (le champ magnétique créé par une boucle de courant se calcule au moyen d'une intégrale elliptique). Il ne serait certainement pas superflu d'étudier les fonctions hypergéométriques, voire, les "fonctions fuchsiennes" permettant de résoudre toutes les équations différentielles à coefficients de polynômes. On écrit vite les équations en physique. Les difficultés commencent quand il s'agit de les résoudre !! Bien sûr, l'entrée en ligne d'ordinateurs puissants a beaucoup changé la donne.
Cordialement

[WizardOfLinn]

...
Je n'ai jamais dit cela, je dis que les nombres utilisés en mesures n'ont aucune base théorique.
...

A une mesure physique est associée une incertitude, ce qui se manipule bien en arithmétique des intervalles, non ?

[Médiat]

Oui, comme je l'ai indiqué 2 fois dans ce fil, mais certains semblent ne pas le voir, j'ai même annoncé être en train de préparer un chapitre sur ce sujet pour le document déjà cité.

[minushabens]

Pour ma part j'ai tendance à penser aux mesures comme à des réels (en fait des variables aléatoires réelles) dont par commodité on n'écrit que les premiers chiffres décimaux. Mais j'avoue que si ça me permet de raisonner sur des lois continues, c'est un peu du pinaillage.

[WizardOfLinn]

En ingénierie, on utilise aussi la notion de nombres flous, et une arithmétique floue plus générale que l'arithmétique des intervalles.

[Médiat]

Pour ma part j'ai tendance à penser aux mesures comme à des réels (en fait des variables aléatoires réelles) dont par commodité on n'écrit que les premiers chiffres décimaux. Mais j'avoue que si ça me permet de raisonner sur des lois continues, c'est un peu du pinaillage.

Ce n'est pas contradictoire avec mon affirmation : vous relevez un rationnel (pas forcément un décimal), et dès que vous l'intégrez dans une formule, vous êtes passé à un modèle et donc aux réels (je ne vois pas cela comme du pinaillage ).

[jiherve]

Bonsoir,
J'ai peur que la confusion ne vienne de l'utilisation des "Float"," real" au cœur de tous le appareils de mesure qui étant largement informatisés ne manipulent en effet que des rationnels, une infime partie de ceux ci en réalité. Il n'en demeure pas moins qu'en dernier ressort les formules analytiques( si elles existent) utilisent les vrais réels.
JR

[eudea-panjclinne]

J'ai peur que la confusion ne vienne de l'utilisation des "Float"," real" au cœur de tous le appareils de mesure qui étant largement informatisés ne manipulent en effet que des rationnels

Curieux, quand on parle de flottant, par exemple dans les types de base en C/C++, python, etc ce ne sont, d'une façon générale, ni des réels, ni des rationnels mais bien de décimaux ! Mais je n'ai peut-être pas tout compris !

[Médiat]

Bonjour,

Ce n'est pas le sujet de ce fil, mais il est très facile de manipuler des rationnels avec un ordinateur, il y a d'ailleurs des librairies pour cela, il suffit de stocker un rationnel sous sa forme "canonique" d'un couple d'entiers.
Et bien sûr rien n'interdit un codage permettant de stocker des décimaux (float par exemple), ou des dyadiques ou autres du même type (c'est une question de codage, pas fondamentale)

[CM63]

Bonjour,

En ce qui concerne les nombres entiers utilisé sur ordinateur, ils sont représentés par des chiffres binaires, appelés bit, c'est-à-dire 1 ou 0. Au bout du compte ce sont bien des entiers , mais tous les entiers ne sont pas représentés, seulement une partie telle que {-32768, -32767, ... -1,0,1,2,... +32767} (je les ai écrit en décimal) , tout le problème est là, c'est cette spécificité qui n'a pas de support théorique mathématique. Lorsque j'ajoute 1 à 32767, j'obtiens un "dépassement de capacité"(1), notion inconnue des mathématiciens, Ou plutôt, pour ne pas être polémique : "notion qui n'a pas de support théorique".

De même pour les nombres flottants, on les représente de la façon suivante:
x = 0.10011001011001 x 10^n , (où 10 représente 2 en base 2)
d'une part le nombre de chiffres de la mantisse est limité, ce qui peut aboutir à des erreurs si on ajoute deux nombres d'ordre de grandeur différents,
d'autre part l'exposant varie entre un mini et un maxi, comme pour les entiers, ce qui peut aboutir également à des dépassements de capacités(2).

Les nombres dyadiques ne reproduisent pas ce comportement puisque les "décimales" (ou plutôt les bits après la virgule) ne sont pas limités.


En ce qui concerne la nature des nombres utilisés en mesures, je continue la lecture du document co-signé par Mediat, je verrai si il en est question. Sinon, je reparcourerais le présent fil pour retrouver les références qu'il a données.

Quoi qu'il en soit, je vous conseille la lecture de ce document qui est très bien fait, et qui donne une vision concise de "l'état de l'art" (comme on dit dans le milieu de la propriété intellectuelle ) sur les théories des nombres.

A plus

(1) : je traduis, assez mal, l'expression "integer overflow",
(2) : là c'est "exponent overflow".

[Médiat]

"notion qui n'a pas de support théorique".

Cela devient fatigant d'avoir besoin de vous répéter encore et encore :
1) si cela existe, il suffit de chercher un peu
2) ce n'est pas le sujet de ce fil.

[CM63]

Bonjour,

...il est très facile de manipuler des rationnels avec un ordinateur, il y a d'ailleurs des librairies pour cela, il suffit de stocker un rationnel sous sa forme "canonique" d'un couple d'entiers.

Oui, cela existe notamment en Python et en Java. cela peut être intéressant pour certaines applications. Mais si par exemple j'essaie d'inverser un grosse matrice en utilisant ces nombres, j'aboutis rapidement à une consommation énorme de ressources.

[eudea-panjclinne]

mais il est très facile de manipuler des rationnels avec un ordinateur, il y a d'ailleurs des librairies pour cela, il suffit de stocker un rationnel sous sa forme "canonique" d'un couple d'entiers.

mais ce ne sont plus des types de bases des compilateurs classiques.

[jiherve]

Bonsoir,

Curieux, quand on parle de flottant, par exemple dans les types de base en C/C++, python, etc ce ne sont, d'une façon générale, ni des réels, ni des rationnels mais bien de décimaux ! Mais je n'ai peut-être pas tout compris !

Je continue donc mon HS : les flottants sont des nombres qui sont exprimés par des sommes de puissances de 2(positives, négatives ou nulles) en aucun cas des nombre décimaux qui eux utiliseraient des puissance de 10, et ce sont bien des fractionnaires .
Je constate que la confusion perdure.
Pour revenir au sujet je ne comprends pas bien l'opposition faite entre réels et fractionnaires les seconds faisant partie des premiers.
JR

[eudea-panjclinne]

les flottants sont des nombres qui sont exprimés par des sommes de puissances de 2(positives, négatives ou nulles) en aucun cas des nombre décimaux

Effectivement, des nombres exprimées par des sommes finies de puissances de 2 (positives ou négatives). L'ensemble des 2-imaux version système binaire des décimaux qui malheureusement ne contenant pas 1/5 est distinct de l'ensemble des décimaux.

[Médiat]

Bonsoir,

Merci de créer un autre fil pour discuter des nombres de l'informatique (comme il s'agit de codage, on peut représenter ce que l'on veut, rationnels, dyadiques, décimaux ou autres, la seule contrainte (hors performance) est le nombre de nombres représentables dans un espace mémoire de taille donnée), cela n'a RIEN à voir avec le sujet de ce fil.

[stefjm]

Bonsoir Médiat,
Il y a des nombres particuliers très utilisés en physique, du genre , ou , nombres bien connus en mathématiques.
D'autres sont beaucoup plus mystérieux, par exemple la constante de structure fine ou le rapport des masses proton/neutron.
Les physiciens qui se risquent à étudier ma structure de ces nombres se font assez vite traiter de numérologue par leurs propres collègues et parfois par les mathématiciens.
(Il y a eu des cas historiques célèbres...)
Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

Il y a des nombres particuliers très utilisés en physique, du genre , ou , nombres bien connus en mathématiques.

Ces nombres apparaissent dans les modèles, pas dans les instruments de mesure, mais ceci n'est toujours pas le sujet de ce fil que j'expose à nouveau :

Des faits :

1) Les physiciens utilisent, dans leurs modèles, les réels intensivement, les complexes très souvent, les quaternions parfois.
2) Il existe des ensembles nombres qui étendent les réels, voir les complexes et même les quaternions
3) Certains de ces ensembles de nombres sont apparus il y a plus de 150 ans dans des travaux de mathématiciens, d'autres sont apparus il y a moins de 10 ans dans des travaux de physiciens
4) Plusieurs de ces ensembles de nombres ont été utilisés, par des physiciens, pour exprimer certaines équations physiques de façon plus simple, plus compacte, plus élégante (voir une liste au message #12)

Des impressions :

5) Ces nouveaux ensembles de nombres sont peu utilisés (avec des exceptions notables comme les algèbres de Clifford).
6) Ces ensembles de nombres devraient permettre d'étudier les conséquences de ces équations avec un œil nouveau (pas dans la partie numérique, sauf pour les hyperduaux qui fournissent une méthode particulièrement simple et efficace pour le calcul des dérivées)
7) Ces ensembles sont, généralement, conceptuellement simples (plus que les algèbres de Clifford)

Cette liste me paraît contradictoire, je dois donc me tromper quelque part (y compris dans ce que j'ai appelé " des faits", et la phrase en cours), mais où ?

[CM63]

Bonjour,

En aparte de la discussion, peux-tu nous donner un exemple d'utilisation par les physiciens des nombres hyperduaux pour le calcul des dérivées? Une référence , une publication. Ces nombres me paraissent intéressants.

Merci pour ta réponse.

[Médiat]

Voir dans ce même fil : http://forums.futura-sciences.com/de...ml#post5022486

[eudea-panjclinne]

Après avoir fait de très nombreuses recherches sur le net concernant les "Ensembles de Nombres"
plus ou moins exotiques, j'ai eu l'impression (peut-être fausse) qu'assez peu de physiciens étaient très impliqués dans l'étude de ce type d'outils

Pourquoi ne pas faire une étude statistique de la façon suivante:
Prenez l'archive internet (arXiv.org), chaque jour, environ une centaine de documents concernant la seule physique sont publiés. En faisant une recherche par mots clés, par exemple : quaternions, on doit pouvoir trouver les documents contenant ce mot.
En recherche avancée on peut chercher dans le titre ou dans l'abstract, il a même une recherche expérimentale dans le texte.
J'ai essayé avec quaternion, sur la période 2000-2014 : 680 documents sont sortis. J'en suis très
étonné...

[0577]

Bonjour,

quelques remarques:

1) la notion "d'ensemble de nombres" est relativement vague et je ne suis pas sûr que ce soit la plus adaptée pour comprendre l'usage de certains concepts mathématiques en physique (et même en mathématique...: par exemple, je ne connais pas de "théorie" permettant d'étudier les "ensembles de nombres" alors que l'algèbre commutative permet d'étudier efficacement de nombreux exemples "d'ensembles de nombres").

2) je ne suis pas convaincu par l'intérêt des octons et sédéons. C'est probablement dû à ma lecture plus que superficielle des références fournies mais je ne vois pas de motivation physique et/ou mathématique. Les équations de champs classiques sont extrêmement simples en notations vectorielles usuelles et je n'ai pas vraiment trouvé d'expression plus simple.

3)Une des formulations originale des équations de Maxwell par Maxwell utilisait les quaternions alors que les notations vectorielles ne sont apparues que plus tard. Je considère comme un progrès important l'élimination des quaternions de l'électromagnétisme. En particulier, les équations de Maxwell font sens en n'importe quelle dimension d'espace-temps alors que les quaternions ne s'appliquent qu'en dimension 4. En un sens, utiliser les quaternions simplement pour formuler les équations de Maxwell en dimension 4 obscurcit la structure générale sous-jacente. Bien sûr, si on s'intéresse à des propriétés spécifiques à la dimension 4, alors l'usage des quaternions peut être utile et même essentiel. Ma conclusion: les structures "exceptionnelles" devraient être utilisées pour étudier les problèmes "exceptionnels" et pas autrement (remarque: il existe beaucoup de problèmes "exceptionnels" en physique).

4)Il me semble que les physiciens ne sont pas a priori intéressés par de nouveaux "ensembles de nombres". Les physiciens ne sont pas intéressés par les algèbres de Clifford en tant qu'"ensembles de nombres" choisis au hasard mais en tant qu'objet algébrique essentiel pour comprendre la théorie des représentations des groupes spinoriels et orthogonaux. Les notions de groupes/symétries/représentations sont d'un intérêt physique plus évident que la notion d'"ensemble de nombres". De même, les quaternions et octonions n'apparaissent souvent pas en tant qu'"ensemble de nombre" mais en tant que structure algébrique sous-jacente à des isomorphismes exceptionnels entre groupes/algèbres de Lie en basse dimension.

[azizovsky]

Bonsoir, il ne faut pas aller loin, les nombres complexes déployés ou fondu, il sont trés simple pour lignariser ,


mais je n'ai jamais vu cette façon!!!(mathématiquement rien à dire, pour deux dimension),pour 4 dimension , il suffit d'utiliser les quaternions hyperbolyques ou déployés .

laisser tomber le coté physique, je suis à la hauteur et plus .

[azizovsky]

pour avoir ce qu'on veut, il suffit de bricoler les équations à la physicienne .(c'est un art : )