Asservissement : BO, réponse impulsionnelle, incompréhensions

[invite1e842170]

Bonjour,

Je commence à regarder les TDs d'automatique, sauf qu'il y a quelque chose qui m'échappe :
on me donne une fonction de transfert G(p), je suppose qu'il s'agit du système
en boucle ouverte : G(p) = 1/[p.(1+T.p)²] avec T = 0,5 s

On me demande si ce système est stable
=> Pour cela je fais le critère de Routh sur l'équation caractérisque
soit EQ : 1 + p.(1 + T.p)² = 0 et je trouve que le signe reste le même
sur toute la première colonne :
T²
2.T
-(T - 2) / 2
1

Or on peut également regarder si les pôles sont à partie réelle négative (strictement)
=> Il apparaît rapidement que j'ai pour G(p) => pôles p = 0 et p = -2... ce qui contredit
la stabilité démontrée par le critère algébrique :s
Quelqu'un peut-il me dire où j'ai pu faire une erreur ?

Ensuite on me demande le gain statique et là ... bah là aussi je ne comprends pas tout
car je calcule H(0) ... mais ça tend vers l'infini pourtant si je fais la transformée de Laplace
inverse (après décomposition en éléments simples) je tombe sur : 1 - (2.t + 1) . exp(-2.t)

Petit soucis quand je fais tendre t vers l'infini je trouve ... 1, donc un gain statique différent
de celui trouvé précédemment.

Or faire la transformée de laplace inverse, c'est chercher la réponse impulsionnelle, celle-ci
étant bornée sans converger vers 0, alors normalement le système est stable isn't it ?
(sinon si cela convergeait vers 0 cela aurait été asymptoptiquement stable ...)

En fait je me demande s'il ne faudrait pas plutôt faire G(p).p, quand p tend vers 0 pour trouver
le gain statique... ce qui donnerait 1 aussi !
Mais ça contredirait la démonstration à cette adresse : http://www-hadoc.lag.ensieg.inpg.fr/...n01/r01-04.htm

Si quelqu'un pouvait m'apporter quelques éclaircissements, car je suis dans la confusion la plus totale :O
-----

[gcortex]

Tu peux calculer la phase avec un gain unitaire ou le gain @ -180°

[invitec35bc9ea]

t'as un interateur dans ta fonction de transfert (pole nul) donc le système est isntable
ton polynome caracteristique n'est pas 1 + p.(1 + T.p)² mais p.(1 + T.p)²

[gcortex]

t'as un intégrateur dans ta fonction de transfert (pole nul) donc le système est instable

qu'est ce que c'est que cette idiotie ??

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec35bc9ea]

tu parle de l'orthographe je suppose.
parceque pour ce qui est de l'explication il n'y a pas d'idiotie

[invite1e842170]

Je suis d'accord pour le coup de l'intégrateur qui fait que le système est instable, mais ça m'embête toujours pour la transformée de laplace inverse qui m'amène dans le temporel à situation convergente en t->infini.

Pour l'équation effectivement je me suis trompé j'étais déjà parti sur un retour unitaire... donc ok le système est instable ^^'

Cependant il y a toujours le soucis pour la réponse impulsionnelle :s

[gcortex]

pourquoi instable ?
le bon sens d'abord et les maths après

au contraire, on ajoute souvent un intégrateur après le
soustracteur pour éliminer l'erreur en régime permanent

[invite1e842170]

Certes, mais un gain statique infini... c'est pas terrible =/

[gcortex]

un ampli op aussi a un gain infini
mais avec la contre réaction, tout rentre dans l'ordre

[invite1e842170]

Donc il est bien instable en =>boucle ouverte<=

Et pour déterminer réponse impulsionnelle comment faire ?

[invitec35bc9ea]

pourquoi instable ?
le bon sens d'abord et les maths après

au contraire, on ajoute souvent un intégrateur après le
soustracteur pour éliminer l'erreur en régime permanent

tu le dis toi meme:

mais avec la contre réaction, tout rentre dans l'ordre

il faut une contre réaction (donc boucle fermée) pour qu'un système avec integrateur soit stable. en boucle ouverte il est instable.

le bon sens d'abord et les maths après

Entièrement d'accord.
rien ne vaut un exemple:
la fonction de transfert citée plus haut correspond à celle d'un moteur commandé en courant et dont la sortie observée est la position:
K/[s.(J.s+f)]
ou K est la constante de couple, J l'inertie et f le frottement

imagine que tu envois une consigne constante de courant, comment se comporte la position? elle croit.
Par contre si tu ajoute une boucle d'asservissement de position, la présence d'un intégrateur dans la TF en boucle ouverte fait que tu auras une erreur statique nulle sur la vitesse (Juste un correcteur P). si tu ajoute un PI, tu auras aussi une erreur statique nulle sur la position

[invitec35bc9ea]

Donc il est bien instable en =>boucle ouverte<=

Et pour déterminer réponse impulsionnelle comment faire ?

tout à l'heure

[invitec35bc9ea]

Petit soucis quand je fais tendre t vers l'infini je trouve ... 1, donc un gain statique différent
de celui trouvé précédemment.

pourquoi tu cherche le gain statique dans le domaine temporel? c'est beaucoups plus facile dans le domaine de laplace: t'ecris ta TF sous la forme G/(1+....), G c'est ton gain statique.

Or faire la transformée de laplace inverse, c'est chercher la réponse impulsionnelle, celle-ci
étant bornée sans converger vers 0, alors normalement le système est stable isn't it ?

Euh: pas sur d'avoir tout compris.
en tout cas, si en régime permanent (quand t tends vers l'infini), la reponse inpultionnelle ne tends pas vers zero le système est isntable.
essaie de chercher le laplace-1 de la reponse inditielle (1/s multiplié par ta fonction de transfert), normalement tu devrais avoir un truc croissant en fonction du temps.
en gros, un système stable doit en régime permanent annuler sa sortie pour une excitation de type dirac (réponse impulsionnelle) et la garder constant pour une excitation de type echelon (réponse inditielle)
Hors sujet: c'est marrant, hier j'ai vu pour de vrai cette instabilité face à un dirac sur un vrai controle de moteur

[invite1e842170]

"en tout cas, si en régime permanent (quand t tends vers l'infini), la reponse inpultionnelle ne tends pas vers zero le système est isntable."

Ah bon ? => http://www-hadoc.lag.ensieg.inpg.fr/...n03/r03-05.htm

[invitec35bc9ea]

Oui
celui qui revient à zero est de la forme: 1/(a+b.s): passe bas banal.
celui qui ne revient pas à zero est de la forme: (a+b.s)/s= b+a/s: integrateur pur + offset donc instable
On peut imager la stabilité par une approche energetique: un système stable est un système qui restitue moins d'énergie qu'il n'en prends:
tu donne un dirac qui n'est qu'une perturbation. un système stable, face à une excitation de type dirac revient à la position d'equilibre. un integrateur, face à un dirac donne une sortie: exemple d'une masse dans l'espace, tu lui donne une pichnette et il va tout droit à vitesse constant.
Je soupsonne ton lien de melanger réponse inpulsionnelle et reponse inditielle.