refutabilite des mathematiques

[GrisBleu]

Bonjour

Est revenue plusieurs fois dans ce forum la "definition" d'une theorie scientifique : c est une theorie refutable, cad qui fait des predicitons pouvant etre inirmees par l experience.
Apres une recherche rapide sur goog, je tombe sur la page de wikipedia a propos de K. Popper qui a developpe cette idee

Je me demande alors : quel est le statut des mathematiques. Est ce une theorie ou pas ? si non, qu est ce que c est du point de vue de Popper '(et du votre), si oui comment peut on refuter un resultat mathematique ? En effet, sii on refute une conjecture, ca ne remet pas en cause les maths

J attends vos avis avec impatience (n ayant deja pas su quoi dire lors d une discussion)

@+
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[karatekator]

Tu peux refuter les axiomes en prouvant par exemple qu'un resultat est a la fois vrai et faux tu refuteras alors l'axiome de tier exclu!
Donc oui je pense que les mathematique sont réfutable...

[erik]

Le principe de refutabilité de Popper ne concerne que les sciences expérimentales.
Il ne s'applique pas au mathematiques, le théoreme de Pythagore en géométrie euclidienne n'est pas réfutable par exemple.

[invitebf65f07b]

Oui, je qualifierais même les sciences concernées par le principe de Popper de sciences inductives, ce qui se distingue clairement des mathématiques qui est une sciences déductives.

Car c'est bien sur ce point que s'applique la réfutabilité de Popper. Quand un énoncé est-il vrai("physique" au sens large)?
Par exemple, "tous les corbeaux sont noirs" n'est pas démontrable, on ne peut que constater qu'on a pas encore vu de corbeaux blancs...

En math, on dit "si..., alors..." et c'est bien là toutes la différence.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Aigoual]

Bon, dans ce cas, il vaut mieux que je laisse tomber mes références à Popper.
Il ne faudrait pas que je tombe dans le travers que je réprouve un peu plus haut : attribuer des propos à des personnes qui ne les ont pas tenus…

Reste l’outil, ou l’idée, comme on veut, qu’il n’existe pas de représentation totale du réel, et donc, qu’une représentation n’est complète (« valide »… ») que dans la mesure où elle sait définir ses propres limites.

Après quoi, il est légitime de rechercher la représentation de niveau supérieur qui englobera la première (quitte à la déstructurer au moins partiellement), tout en sachant que ce niveau supérieur sera lui aussi contraint à trouver ses limites.

Dans ce cas, je suppose pouvoir inclure les démarches inductives, comme les déductives.
Le « si… alors » des mathématiques peut fonctionner en ce sens.
« Si la droite n’est pas le plus court chemin entre deux points, alors, géométrie non euclidienne… »

Amicalement,

Aigoual.

[invite6c250b59]

Est-ce qu'on ne peut pas dire que la cohérence interne est au mathématique ce que la confrontation empirique est aux sciences expérimentales?

[invitebf65f07b]

Est-ce qu'on ne peut pas dire que la cohérence interne est au mathématique ce que la confrontation empirique est aux sciences expérimentales?

Effectivement, il n'y a bien que l'inconsistance d'une théorie mathématique (=un jeu d'axiomes + les règles logiques pour les manipuler) qui puisse l'invalider...

La question de la consistance des théories mathématiques fut un des défis que Hilbert proposa de relever au début du 20e siècle (parmi d'autres). Le soucis était qu'on ne savait que dire : "cette théorie est consistante si cette autre l'est aussi". C'était un bon début, mais pas satisfaisant du tout. L'idéal aurait été qu'une théorie puisse montrer sa propre consistance. Je crois que c'est possible dans des cas triviaux, mais c'est donc pas intéressant.
C'est là qu'intervient notre cher Gödel en montrant qu'une axiomatique capable de contenir l'arithmétique ne peut pas prouver sa propre consistance. Les théories intéressantes sont donc un peu "coincée".

Bon, Gödel a pas fait ça que pour nous embêter et ses résultats apportent beaucoup pour une meilleur compréhension de la logique et de certains paradoxes.

[Aigoual]

Salut Jiav,

Je crois que je dirais un peu différemment :
La logique déductive est la cohérence des mathématiques, à la manière dont la confrontation empirique est la cohérence des sciences expérimentales.

Mon idée est plutôt que chaque discours doit définir son propre système de cohérence pour être valide.
Vu sous cet angle, tous les discours qui savent le faire peuvent prétendre, chacun dans leur domaine, a être valide, c’est à dire recevable.

Par exemple, la validité du discours philosophique passe par la sémantique.
Celui de la poésie ou des arts est validé par la sensation de beauté.

Pas très rationnel tout ça, n’est-ce pas ?
En tout cas, très étranger aux froides déductions des sciences du logique pur.
N’empêche que nombre de mathématiciens éprouvent une réelle sensation de beauté face à l’équation qui conclut des sommes considérables d’efforts, parfois sur des années, ou des vies entières…
Sensation de beauté qui restera pourtant totalement hermétique au non mathématicien, parce qu’il n’a pas accès aux cohérences des maths.

Y a t’il des hiérarchies de valeurs entre ces différents discours, basées par exemple sur la qualité de leur validité ?
Honnêtement, je ne pense pas.

Il me semble au contraire que chacun de ces discours contribuent tous à leur manière à se compléter les uns les autres dans l'approche du réel.

Par exemple, que valent les lignes que je viens d’écrire ?
Pour les mathématiques pures, pas grand chose…
Pire même, elles n’ont rien de scientifiques et n’ont rien à faire dans ce forum.

Et pourtant, j’ose croire qu’elles me permettent de mieux comprendre un « quelque chose » qu’il me serait totalement impossible de cerner avec les maths pour seul outil…

Cela dit, peut-être que je me trompe complètement.

Amicalement,

Aigoual.

[invite6c250b59]

C'est là qu'intervient notre cher Gödel en montrant qu'une axiomatique capable de contenir l'arithmétique ne peut pas prouver sa propre consistance.

Mais voilà qui rapproche encore les maths des sciences expérimentale! Les sciences ne seront jamais achevés car même si elles rendaient compte de toutes les observations passées, il suffirait d'une nouvelle dont elles ne rendent pas compte pour les remettre en question. Les maths ne seront jamais achevées car elles ne pourront jamais rendre compte complètement de leur validité interne. La comparaison est suggestive non?

aux froides déductions des sciences du logique pur

Pourquoi froides? Allons tu as certainement déjà connu cette extase qui vient de la réussite d'une démonstration. Tu as trouvé que c'était froid?? Une explosion d'adrénaline plutôt! Et même en sachant que les pros nous trouverait éventuellement ridicule sur nos pauvres réussites. Imagine ce que ça doit être pour eux

Y a t’il des hiérarchies de valeurs entre ces différents discours, basées par exemple sur la qualité de leur validité ?

Personnellement je pense que la hiérarchie existe, mais qu'elle dépend de ce qu'on veut faire. Si c'est pour élaborer une éthique de vie personnelle, ce qui nous contente et nous tient droit, alors les sciences ne sont pas très bien placés par rapport à la philosophie ou à l'art. Par contre si c'est pour butter le lion qui est devant la caverne, ça peut servir.

[Aigoual]

Salut Jiav,

Pourquoi froides?

Hé oui, c’est exactement ça !
Pour le non-mathématicien (dont au passage je suis, bien malgré moi…) c’est « froid, » parce que la cohérence n’en est pas perçue.
Mais pour le mathématicien, ça « brule » !!! Comme tu dis, ça pète d’adrénaline ! Ca reconstruit le monde, dont soi-même, dans une expérience physique intime qui doit procurer une intense sensation de bonheur, voire de jouissance ! C'est « beau » !

Froid, chaud, expérience physique, intime, sensation, bonheur, jouissance, beau, voilà des termes qui semblent pourtant bien éloignés des maths. Comment pourrait-on traduire ces mots en équations ?
Pour le faire, il faut changer de discours.

Personnellement je pense que la hiérarchie existe, mais qu'elle dépend de ce qu'on veut faire.

Oui, là aussi, c’est ça.
En fonction de ce que l’on veut en faire, les hiérarchies changent. Par exemple, pour me restituer la réalité sensible d’une époque passée, l’artiste est souvent bien plus précieux que le scientifique. Songe, par exemple, combien cela nous manquerait de ne pas disposer des fabuleuses fresques de Lascaux, ou des poèmes de Ronsard, ou de Van Gogh, pour comprendre nos aïeux.

Nous sommes au carrefour de tout ces discours qui, pris séparément, possèdent tous leur cohérence interne, mais restent tous incomplets.
Et moi, je trouve ça rassurant de penser que, ni le réel, ni nous mêmes, ne se réduisent à un seul d’entre eux.
C’est nous, la synthèse, pas eux.
Ils ne sont que des outils, à notre service.
Et moi, ça me plait de supposer que je ne suis pas qu’une simple équation dans l’univers, même si je ne peux pas le prouver…

Amicalement,

Aigoual.

[invite2ca586bb]

Moi je reste sur l'idée de Poincaré que les mathématiques sont fondamentalement conventionnelles.
Mais ca ne veut pas plus dire qu'elles sont refutables.

Quant a repondre a la question : "Qu'est-ce que sont les mathematiques pour Popper ?" je crois qu'il en fait le modele des habitants de son "3e monde", le monde des théories objectives formulées/formulables, qu'il rattache explicitement a la théorie platonicienne des Idées.