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[Maths-Phys] [TS-Sup] Miroir parabolique



  1. #1
    .:Spip:.

    [Maths-Phys] [TS-Sup] Miroir parabolique


    ------

    Bonjour,

    Ledescat m'a envoyé ce petit exercice sur le miroir parabolique qui est un mélange de math/physique. C'est un très bon exercice pour ceux qui se dirigent vers une prépa par exemple...

    Miroir parabolique:

    En considérant l'équation d'une parabole dans un repère orthonormal adapté (y=ax²), on veut montrer qu'il y a stigmatisme rigoureux entre l'infini et un point (appelé foyer) situé sur l'axe de symétrie du miroir parabolique.

    Le dessin ci-dessous illustre et précise mon propos: on veut montrer que tout rayon arrivant parallèlement à l'axe du miroir parabolique est réfléchi par ce miroir, et le rayon réfléchi coupe l'axe de la parabole en un point commun à tous les rayons incidents.
    A noter qu'un rayon arrivant avec un angle d'incidence de ia par rapport à la normale à la surface est réfléchi avec un angle de réfléction ib par rapport à la normale à la surface avec ia=ib.


    Proposition de cheminement (pas pour les sup )

    On se propose d'étudier le devenir d'un rayon d'équation (D): x=x0.

    1/ Donner la relation entre x0 et y0 du point M0(x0,y0) appartenant à la parabole.

    2/ On appelle un vecteur tangent à la parabole en M0 et un vecteur normal à .
    Donner une expression simple de et .

    3/ On appelle un vecteur directeur de (D) (le rayon incident vertical).
    Par des projections adaptées de sur et , déterminer les coordonnées du vecteur dirigeant le rayon réfléchi. (*)

    4/ En déduire une équation de la droite formée par le rayon réfléchi.

    5/ Montrer finalement que ce rayon coupe l'axe des ordonnées en un point indépendant de x0 (donc de M0).
    Exprimer alors en fonction de a l'emplacement du foyer d'un miroir parabolique d'équation y=ax².

    6/ (bonus ) Pourquoi a-t-on des paraboles sur le toit de notre maison ?


    (*) Dans un repère orthonormal, le vecteur projeté de sur est :

    où | désigne le produit scalaire.


    voila, à vos crayons et merci qui ??? Merci Ledescat

    François.

    -----
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    Dernière modification par Gwyddon ; 23/08/2007 à 17h31. Motif: modif de Ledescat
    Soyez libre, utilisez Linux.

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  3. #2
    Dydo

    Re : [Maths-Phys] [TS-Sup] Miroir parabolique

    Juste pour me rassurer, parce que là je m'inquiète, ça relève en partie du programme de Spé Physique ça en terminale S non ? Parce que ça ne me parle pas vraiment toutes ces histoires xD

  4. #3
    .:Spip:.

    Re : [Maths-Phys] [TS-Sup] Miroir parabolique

    Oui, on voit un peu les miroirs paraboliques en spé physique (d'ailleur Ledescat, le spé, je pensai que c'etait par rapport a ca) Mais justement quelque part, si on n'a pas fait cette spé là, l'exo permet de decouvrir la chose tout l'interet est là. Et pour ceux qui ont fait la spé, ben ca le démontre...
    Soyez libre, utilisez Linux.

  5. #4
    Ledescat

    Re : [Maths-Phys] [TS-Sup] Miroir parabolique

    Citation Envoyé par Dydo Voir le message
    Juste pour me rassurer, parce que là je m'inquiète, ça relève en partie du programme de Spé Physique ça en terminale S non ? Parce que ça ne me parle pas vraiment toutes ces histoires xD
    Moui à peine, il ne faut pas se bloquer parcequ'on n'a pas fait spé physique, car on n'y apprend pas à faire ce genre de choses (pas du tout même).

    Le seul point important à connaître, c'est que l'angle réfléchi et l'angle incident (par rapport à la normale à la surface= la normale à la tangente )sont égaux.


    EDIT:
    d'ailleur Ledescat, le spé, je pensai que c'etait par rapport a ca
    Bien vu, je n'y avais pas pensé . Je préfère mettre ts/sup, pour faire aborder l'optique par tout le monde, quelle que soit la spécialité prise en TS.
    Cogito ergo sum.

  6. #5
    Dydo

    Re : [Maths-Phys] [TS-Sup] Miroir parabolique

    j'avais été perturbé par l'énoncé de départ donc je me suis posé la question, mais en fait ça va c'est pas trop difficile :þ Bon il est tard et je galère avec les projections alors on va laisser ça pour demain, en attendant je trouve :

    1. On sait que , avec , équation de la parabole considérée, on a donc .

    2. Considérons une droite \delta, approximation affine ( tangente à la courbe ) de , par définition, on a :



    En prenant deux valeurs pour , par exemple et , on a les coordonnées d'un vecteur colinéaire ( donc directeur ) à :



    On cherche maintenant n tel que :




    Le couple convient, on a donc le vecteur normal à et à
    Dernière modification par benjy_star ; 24/08/2007 à 10h11.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Dydo

    Re : [Maths-Phys] [TS-Sup] Miroir parabolique

    J'avais été perturbé par l'énoncé de départ donc je me suis posé la question, mais en fait ça va c'est pas trop difficile :þ Bon il est tard et je galère avec les projections alors on va laisser ça pour demain, en attendant je trouve :

    1. On sait que , avec , équation de la parabole considérée, on a donc .

    2. Considérons une droite , approximation affine ( tangente à la courbe ) de , par définition, on a :



    En prenant deux valeurs pour , par exemple et , on a les coordonnées d'un vecteur colinéaire ( donc directeur ) à :



    On cherche maintenant tel que :



    Le couple convient, on a donc le vecteur normal à et à

    Edit : Vous remarquerez que j'ai un peu de mal avec LaTex ... pardonnez le double post ^^

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  10. #7
    Ledescat

    Re : [Maths-Phys] [TS-Sup] Miroir parabolique

     Cliquez pour afficher
    Cogito ergo sum.

  11. #8
    Dydo

    Re : [Maths-Phys] [TS-Sup] Miroir parabolique

    Oooops ce n'est pas ce que j'ai voulu mettre, j'ai du m'embrouiller sur mes brouillons tellement c'est bien organisé, j'ai du livre le vecteur \vec{v}, donc en fait c'est plutôt :



    Voilà, je continuerais demain parce que cette histoire de projection ça m'amgoisse :þ Merci pour le rappel sur le coefficient directeur de la droite, j'oublie toujours ce genre de petites astuces

    Bon allez bonne nuit ^^

  12. #9
    Ledescat

    Re : [Maths-Phys] [TS-Sup] Miroir parabolique

    Citation Envoyé par Dydo Voir le message
    Oui c'est exact .

    Moi aussi j'y vais, bonne nuit.

    François.
    Cogito ergo sum.

  13. #10
    Dydo

    Re : [Maths-Phys] [TS-Sup] Miroir parabolique

    En passant, pour la projection sur les vecteurs et , il n'est pas possible de le faire par simple relation trigonométrique comme en physique, avec les cosinus et sinus de l'angle et la norme du vecteur considéré ?

  14. #11
    Ledescat

    Re : [Maths-Phys] [TS-Sup] Miroir parabolique

    Citation Envoyé par Dydo Voir le message
    En passant, pour la projection sur les vecteurs et , il n'est pas possible de le faire par simple relation trigonométrique comme en physique, avec les cosinus et sinus de l'angle et la norme du vecteur considéré ?
    Ben fais comme tu le sens . Mais tu ne connais pas l'angle, à moins de définir:


    Et tu retomberas très certainement sur le résultat voulu. Mais je t'assure que passer par des projections est bien plus simple que de réfléchir avec des angles.

    Cordielement.
    Cogito ergo sum.

  15. #12
    Dydo

    Re : [Maths-Phys] [TS-Sup] Miroir parabolique

    C'est peut être ça qui m'embrouillait alors, merci ledescat, je m'y remet de suite :þ

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  17. #13
    Dydo

    Re : [Maths-Phys] [TS-Sup] Miroir parabolique

    Bon je ne vous donne pas le détail du détail, c'ets bien assez suspect comme ça :þ En prenant le couple comme coordonnées du vecteur directeur du rayon incident. En fait j'étais parti sur et = , mais bon, avec mes calculs et mes histoires d'angles je retombais toujours sur donc j'ai laissé tombé ^^

    Après vu qu'on a l'égalité entre angle réfléchi et angle incident, et que par construction le repère est orthonormal, j'ai effectué un changement de repère ( un peu avec les mains au début comme tu dirais ^^ mais ça a l'air de marcher ), ça donne :





    Qui donnent donc les nouvelles coordonnées de dans ce nouveau repère :



    Et avec des histoires de courbes représentatives de fonctions paires dans le nouveau repaire avec (car les angles sont égaux), j'arrive à :



    Ce qui colle bien avec le schéma en tenant compte de la direction des vecteurs graphiquement et du signe de chaque coordonnées ...

    N.B. : Le vecteur que j'ai précédemment donné n'est pas du même sens que celui dessiné sur le schéma, mais de sens opposé... du coup j'ai pas arrêté de me casser la tête en revenant sur mes calculs que je trouvais faux parce que mes coordonnées Y étaient opposées à ce qu'il y avait sur le dessin, mais c'est que j'vaais prit comme vecteur sur mon schéma le même que celui de l'exercice, argh !
    Dernière modification par Dydo ; 24/08/2007 à 13h14.

  18. #14
    Ledescat

    Re : [Maths-Phys] [TS-Sup] Miroir parabolique



    Ce qui colle bien avec le schéma en tenant compte de la direction des vecteurs graphiquement et du signe de chaque coordonnées ...
    Je ne suis pas vraiment d'accord avec ce résultat.

    En fait j'étais parti sur et =
    Pouquoi se compliquer la vie, tu touchais du doigt quelque chose de très bien !
    Il y a juste une erreur, c'est en fait:

    Là ça ira sûrement tout seul .

    D'ailleurs, le sens des vecteurs directeurs des rayons n'a aucune importance, seule la direction l'est.

    Enfin, n'oublie pas qu'ici, ||n||=||v|| , donc peuvent "s'enlever" pour simplifier le vecteur directeur .


    François
    Cogito ergo sum.

  19. #15
    Dydo

    Re : [Maths-Phys] [TS-Sup] Miroir parabolique

    Bon, donc du coup on a :





    Vu que les normes sont égales on peut simplifier, ce qui donne :





    Maintenant je ne vois pas que faire d'autre que de passer par le repère , le vecteur serait donc de coordonnées :



    Avec les projections j'ai les relations entre les vecteurs et :



    ... C'est louche de trouver quelque chose d'indépendant de \vec{j} non ?

    Décidément moi et les projections ...

  20. #16
    Dydo

    Re : [Maths-Phys] [TS-Sup] Miroir parabolique

    Oups petite erreur sur les vecteurs, en fait ça donnerait :



    Ce qui colerait un peu mieux ... Maintenant on peut avoir un vecteur de la forme en divisant par :



    Le rayon réfléchi est donc dirigé par ce vecteur \vec{r_2}, il est donc de coefficient directeur , qui dépend bien de .

    C'est bon cette fois :þ ?

  21. #17
    Dydo

    Re : [Maths-Phys] [TS-Sup] Miroir parabolique

    4. On a donc un coefficient directeur de ce rayon réfléchi de , la droite est donc de la forme :



    Or on sait que ce rayon réfléchi passe par , d'où :





    Une équation de la droite représentant le rayon réfléchi est donc :



    5. On cherche désormais l'ordonnée à l'origine de cette droite, on prend donc ; et on sait que, par hypothèse, , on a donc : :



    Le foyer est donc un point indépendant du choix de ; il ne dépend que du coefficient donnant la courbure de la parabole : ainsi pour une même parabole, tous les rayons arrivant "de l'infini" ( parallèlement à l'axe ) seront réfléchis sur ce même foyer !

    6. L'intérêt des antennes paraboliques vient justement de là, effectivement les ondes ( TV, etc ... ) arrivent de très loin, on peut donc considérer qu'elles sont parallèles à l'axe et seront toutes réfléchies sur le foyer, où se situe un récepteur qui permettra de regarder la météo tous les soirs et de se dire que ces vacances d'été c'est plutôt un désastre :þ


    ... Z'ai fini ?

  22. #18
    Ledescat

    Re : [Maths-Phys] [TS-Sup] Miroir parabolique

    Citation Envoyé par Dydo Voir le message



    Le rayon réfléchi est donc dirigé par ce vecteur \vec{r_2}, il est donc de coefficient directeur , qui dépend bien de .

    Je n'ai pas lu tout ce que tu as écrit avant, mais là c'est juste .
    Continue c'est presque bouclé !
    Cogito ergo sum.

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  24. #19
    Ledescat

    Re : [Maths-Phys] [TS-Sup] Miroir parabolique

    Citation Envoyé par Dydo Voir le message



    Le foyer est donc un point indépendant du choix de ; il ne dépend que du coefficient donnant la courbure de la parabole : ainsi pour une même parabole, tous les rayons arrivant "de l'infini" ( parallèlement à l'axe ) seront réfléchis sur ce même foyer !
    Exact ! C'est bien (0,1/(4a)) .

    6. L'intérêt des antennes paraboliques vient justement de là, effectivement les ondes ( TV, etc ... ) arrivent de très loin, on peut donc considérer qu'elles sont parallèles à l'axe et seront toutes réfléchies sur le foyer, où se situe un récepteur qui permettra de regarder la météo tous les soirs et de se dire que ces vacances d'été c'est plutôt un désastre :þ
    C'est bien ça, on pouvait penser prendre une portion de sphère, mais le stigmatisme est approché et non rigoureux pour une sphère, pour une parabole c'est bien rigoureux, donc pourquoi s'en priver ?


    Z'ai fini ?
    Oui, tu vois, pas besoin de faire spé physique .
    Cogito ergo sum.

  25. #20
    Dydo

    Re : [Maths-Phys] [TS-Sup] Miroir parabolique

    Youpiiii Décidément ça soulage, moi et les erreurs stupides hein, ça ne s'arrétera pas de si tôt

    P.S : Par contre si un modo veux bien mettre tout ce que j'ai fait en spoiler pour les suivants, n'hésitez pas, j'ai pas pensé à le faire ^^

    Et merci de ton soutient Ledescat :þ

  26. #21
    Ledescat

    Re : [Maths-Phys] [TS-Sup] Miroir parabolique

    Ton prof de sup te parlera du miroir parabolique, ça te rappellera des souvenirs au moins .
    Fais gaffe aux étourderies, c'est aussi ma hantise... Tu verras les développements limités cette année, c'est le cauchemar pour les personnes comme toi ou moi qui faisons des erreurs de calcul.
    Cogito ergo sum.

  27. #22
    Dydo

    Re : [Maths-Phys] [TS-Sup] Miroir parabolique

    Va falloir que je me dope le matin ou que je reste sous perfusion en cours pour ne pas les louper alors, parce qu'un exercice sans erreur de calcul, je connais pas, même pas au bac où j'ai du perdre tous mes points en math et en Physique à cause de ce genre de choses mouarf :þ

    Va falloir faire avec, et maintenant j'ai une petite super TI-89 qui est prête à vérifier mes calculs et mes erreurs de signes sans se plaindre ^^

  28. #23
    Ledescat

    Re : [Maths-Phys] [TS-Sup] Miroir parabolique

    Citation Envoyé par Dydo Voir le message
    Va falloir faire avec, et maintenant j'ai une petite super TI-89 qui est prête à vérifier mes calculs et mes erreurs de signes sans se plaindre ^^
    Sauf en DS généralement ...
    Cogito ergo sum.

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