exo maths 1ère S sur miroir paraboliques

[invite93477bb3]

Bonjour à tous !

voici l'intitulé de mon exercice :

Dans un repère orthonormal, P est la parabole d'équation y=x², a est un réel et da la droite d'équation x=a. La droite da coupe P en un seul point Ma et Delta a est la symétrique de da par la réflexion d'axe la tangente en Ma à P

Prouvez que toutes les droites Delta a passent par un point fixe F appelé foyer.

Une représentation graphique s'impose(...) Et voilà mon problème :

Da coupe P en Ma. Delta a est le symétrique de da par la réflexion d'axe la tangente en Ma à P

De là il est aisé de trouver la tangente en passant par la dérivée.
Ca donne f'(x)=2x d'où y=f'(a)(x-a)+f(a) donnant ainsi

y=2a(x-a)+a²
y=2ax-a²

Mais je ne sais pas comment intépréter mathématiquement la symétrique par rapport à cette tangente. et donc comment prouver qu'elles passent toutes par un même point F

Merci d'avance.
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[cedbont]

Bonjour,

tu as le vecteur directeur de da (u), celui de la tangente (t) et tu cherches celui (s) de la symétrique de da par rapport à la tangente.

Tu peux décomposer u et s en deux vecteurs chacun :
- un colinéaire à t : c et c'
- un perpendiculaire à t : p et p'.

Tu as : |u.t| = |c.t| = |c'.t| = |s.t| ( . : produit scalaire).
Et : ||u^t|| = ||p||*||t|| = ||p'||*||t|| = ||s^t|| ( ^ un produit vectoriel).

Tu en détermines (attention aux signes de c' et p') le vecteur s et donc ta droite symétrique.

Je te laisse finir.

[invite93477bb3]

ton raisonnement est très bon, mais malheureusement, on commence tout juste à aborder le pdt scalaire.

alors j'ai plusieurs questions :

d'abord les toutes bêtes : pour les vecteurs directeurs de da et de la tangente, c'est-à-dire u et t...comment les quantifier ?

Je sais qu'à partie de l'équation de la tangente, le coef directeur est 2a mais parès...j'avoue..blocage.

Ensuite les plus dures : par rapport au pdt scalaire, est-ce que je dois utiliser la formule : u.v= ||u||*||v||*cos(u,v) ??

ce qui donnerait |u.t|= ||u||*||t||*cos(u,t)=||c||*||t ||*cos 0 (colinéaire)= ||c||*||t||= ||c'||*||t||*cos (pi/2)= ||s||*||t||* cos (s,t)

mais j'avoue que ça pose blocage encore une fois pour aboutir à qqchose de concret. Je pose que de toute façon, le problème vient de moi.

merci d'avance