[Maths] [MPSI] Nombres complexes : partie finie
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[Maths] [MPSI] Nombres complexes : partie finie



  1. #1
    invitea7fcfc37

    [Maths] [MPSI] Nombres complexes : partie finie


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    Bonsoir à tous,

    Je suis un peu absent en ce moment, je suis désolé mais j'ai pas mal de choses à faire

    Voilà un petit exercice (de khôlle) qui peut faire réfléchir, je précise que je connais la solution mais pas la démonstration .. (oui c'est pas top ^^)

    Enoncé :

    On considère une partie finie de , vérifiant :

    et

    Caractériser .

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  2. #2
    invitefc60305c

    Re : [Maths] [MPSI] Nombres complexes : partie finie

    Ca veut dire quoi caractériser Z ?

  3. #3
    invitea7fcfc37

    Re : [Maths] [MPSI] Nombres complexes : partie finie

    Salut,

    Tu trouves ce qu'elle contient :]

  4. #4
    invitec053041c

    Re : [Maths] [MPSI] Nombres complexes : partie finie

    Bonjour.

    Joli exercice ! C'est le fini qui m'intrigue . (ça sent j à pein nez aussi...)

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitea7fcfc37

    Re : [Maths] [MPSI] Nombres complexes : partie finie

    Le fini te permet de trouver une condition nécessaire, déjà instinctivement tu peux éliminer une grande partie du plan complexe puisque la partie est finie, mais c'est même pas super simple à prouver ...

  7. #6
    inviteec581d0f

    Re : [Maths] [MPSI] Nombres complexes : partie finie

    Bon vu qu'il n'y a personne :

    C'est quoi le principe de l'exo ?




  8. #7
    invitea7fcfc37

    Re : [Maths] [MPSI] Nombres complexes : partie finie

    Et bien tu dois trouver ce que contient Z
    Je ne sais pas comment il faut faire pour le démontrer, mais je connais la réponse, je sais déjà qu'on peut éliminer tous les complexes de _ _ _ _ _ _ strictement supérieur à _ .

    C'est une phrase à trous

    Sinon dans le cas général je pense qu'il faut jouer sur les modules mais comment je ne vois pas

  9. #8
    inviteec581d0f

    Re : [Maths] [MPSI] Nombres complexes : partie finie

    Citation Envoyé par kNz Voir le message
    ... je sais déjà qu'on peut éliminer tous les complexes de M O D U L E strictement supérieur à 0 ? .


    C'est çà ? ^^


  10. #9
    invitea7fcfc37

    Re : [Maths] [MPSI] Nombres complexes : partie finie

    Non pas d'chance ^^
    J'aurais dit qu'on pouvait éliminer 0 tout simplement sinon
    C'est les modules strictement supérieurs à 1, j'en dis pas plus sinon tout le monde aura la réponse sans que personne n'ait la démonstration, ça serait pas drôle.

  11. #10
    invite3179bf00

    Re : [Maths] [MPSI] Nombres complexes : partie finie

    Dis-moi. Z est-il un groupe, un anneau ou un espace vectoriel?

  12. #11
    invitec053041c

    Re : [Maths] [MPSI] Nombres complexes : partie finie

    A priori on ne le sait pas.

    Si tu arrives à montrer l'un des 3, on sera déjà très bien avancé. Mais je doute que Z ait une telle structure (mais pourquoi pas).

  13. #12
    invitec053041c

    Re : [Maths] [MPSI] Nombres complexes : partie finie

    Il y a déjà i et -i dans Z, mais ça ne fait pas avancer le schmilblick...
    Je sèche vraiment sur cet exo. Je suis passé par tout, même des études de fonctions à deux variables .

  14. #13
    invitea7fcfc37

    Re : [Maths] [MPSI] Nombres complexes : partie finie

    J'avais calculé ça majorait 2|z|^2 pour un module de z strictement inférieur à 1, ce qui permettait d'affirmer que Z n'était pas finie. Il restait les modules inférieurs ou égaux à 1, je pense qu'on pourrait faire un truc dans le même genre, mais je retrouve plus mes calculs

  15. #14
    inviteaeeb6d8b

    Re : [Maths] [MPSI] Nombres complexes : partie finie

    Joli exercice !

    Je pense que le fini ne sert qu'à éviter les deux réponses triviales : IR et C


    Une interprétation géométrique de la définition de Z peut être bénéfique

  16. #15
    inviteaeeb6d8b

    Re : [Maths] [MPSI] Nombres complexes : partie finie

    Re !

    et sont aussi des parties infinies (mais dénombrables celles-là) qui vérifient la condition d'appartenance


    Comme l'a dit kNz, on peut montrer qu'on peut éliminer les complexes de module strictement supérieur à 1 (en supposant que Z en contient un et en montrant que Z est alors infini).

    De même, aucun réel n'appartient à Z.

    Finalement on sait que Z est inclus dans la boule (fermée) unité inter IRc


    Je trouve que l'exo est pas super bien posé Il aurait fallu dire : quelle est la plus grande partie finie de C telle que ...

    Sinon {i,-i} convient


    Romain

    PS : au fait, je crois qu'on peut laisser tomber la représentation géométrique !

  17. #16
    invite3179bf00

    Re : [Maths] [MPSI] Nombres complexes : partie finie

    Tous les réels ne font pas aussi parmi de l'ensemble rechérché.
    Si z est un réel strictement négatif, z^2 - z + 1 >1 et donc de module > à 1 ==> un ensemble infini.
    De même si z est un réel strictement positif, z^2 + z + 1 a un module > à 1.
    Si z = 0 ==> z^2 - z + 1 = z^2 + z + 1 = 1. Ce qui, de suite conduit au même raisonnement ou conclusion.
    L'ensemble Z recherché est inclus dans la boule (peut-être fermée) unité , boule privée des réels.

  18. #17
    inviteaeeb6d8b

    Re : [Maths] [MPSI] Nombres complexes : partie finie

    Citation Envoyé par temoin2001 Voir le message
    Tous les réels ne font pas aussi parmi de l'ensemble rechérché.
    Si z est un réel strictement négatif, z^2 - z + 1 >1 et donc de module > à 1 ==> un ensemble infini.
    De même si z est un réel strictement positif, z^2 + z + 1 a un module > à 1.
    Si z = 0 ==> z^2 - z + 1 = z^2 + z + 1 = 1. Ce qui, de suite conduit au même raisonnement ou conclusion.
    Tu viens de répeter ce que j'avais écrit juste au-dessus

    L'ensemble Z recherché est inclus dans la boule (peut-être fermée) unité , boule privée des réels.
    Tu peux enlever le peut-être
    Z et inclus dans la boule fermée unitée privée des réels car i et -i sont dans Z


    Romain

  19. #18
    invite35452583

    Re : [Maths] [MPSI] Nombres complexes : partie finie

    Les complexes qui engendrent une partie finie stable pour z->z²+z+1=P(z) sont les racines de P(z)-z, P(P(z))-z, P(P(P(z)))-z...
    Les éléments formant un cycle d'ordre 1 sous l'action de P sont i et -i.
    Les éléments formant un cycle d'ordre 2 sous l'action de P sont -1+/-i.racine(2)
    ... pas fait le calcul pour les autres ça devient nécessairement imbuvables.

    Pour Q(z)=z²-z+1, les éléments d'ordre 1 sont l'unique 1, les éléments d'ordre 2 sont i et -i, (idem pour les calculs).

    Toujours est-il que la plupart des complexes ont des orbites dénombrable sous l'action de P ou de Q et dénombrables également sous l'action de P et Q. Il existe une infinité (continue) de parties stables dénombrables : il suffit de considérer de telles orbites.

    L'espoir est de réussir à montrer que seuls i et -i engendrent des orbites finies car les autres éléments à orbite finie vont être des racines de polynôme de degré 6 et plus. (On peut toujours diviser par z²+1 ce qui a suffi pour déterminer -1+/-iracine(2) mais ne suffit plus ensuite)

    lz²+z+1l²+lz²-z+1l²=2lzl²+2(x²-y²+1) certes >2lzl² pour lzl<=1 mais cela ne permet pas encore d'exclure tous les complexes de module >1.

    Par contre on peut éliminer pour débuter ainsi :
    z->z²+z+1=(z+1/2)²+3/4 si z est à une distance r de -1/2 il est à une distance r² de 3/4, si le second cercle ainsi formé englobe le 1er alors z²+z+1 est à une distance>r de -1/2 , et on se rend facilement à l'évidence que pour cette nouvelle distance le même processus continue. Les éléments en orbite finie pour P sont dans le cercle, après calcul, de centre -1/2 et de rayon (1+racine(6))/2.
    On peut faire de même pour Q, on obtient le cercle de centre 1/2 et de rayon (1+racine(2))/2.
    Pour avoir une orbite sous l'action des éléments formés avec P et Q il faut être dans l'intersection I.
    Mais il faut également que leur image par P et Q soit dans I.
    Aïe, pas évident à déterminer, par contre on peut espérer recouvrir par des zones pour lesquels on arrive à montrer que l'orbite est dénombrable et donc non finie.

  20. #19
    invite35452583

    Re : [Maths] [MPSI] Nombres complexes : partie finie

    Il y a un moyen de montrer (relativement élémentaire et court en plus) le résultat :
     Cliquez pour afficher

  21. #20
    inviteaeeb6d8b

    Re : [Maths] [MPSI] Nombres complexes : partie finie

    Salut !

    à kNz :

    apparemment, tu es en sup (MPSI) et cet exo a été posé en khôlle. Si tu as l'énoncé et la réponse, c'est qu'un camarade te l'a communiqué (l'exo), mais il ne t'a pas dit comment faire pour trouver la solution...

    J'aimerais savoir si c'est parce qu'il n'en a pas eu le temps/l'envie (ou que tu ne voulais pas connaître la solution), ou si c'est parce que même après la khôlle, il était incapable de reconstruire le raisonnement.

    Je m'explique : ce genre d'exo, sans indications comme celles que donne homotopie, n'apporte rien en sup, et si le khôlleur s'est contenté, à la fin de l'heure, de lui donner la solution en lui disant un truc du genre "on vérifie que ça marche", c'est qu'il s'agit d'un mauvais khôlleur
    J'ai le sentiment (aujourd'hui, je ne pouvais pas l'avoir en sup) que certains khôlleurs donnent des exercices trop difficiles et qui les dépassent parfois, simplement parce qu'ils les ont trouvés dans des bouquins...

    Enfin, je disais ça (ça n'a aucun intérêt en fait...), parce que passer une heure, en début de sup, à chercher, seul, sans indications, un exo de ce type et ne pas avoir un corrigé clair (et se prendre éventuellement une sale note), c'est pas terrible


    Romain

  22. #21
    invitea7fcfc37

    Re : [Maths] [MPSI] Nombres complexes : partie finie

    Salut Romain,

    En fait, le prof m'a donné cet exo parce que je crois qu'il avait plus grand chose et j'ai eu que 10 minutes pour chercher, dnoc forcément c'était pas extra, et à la fin comme on était pressé il m'a effectivement dit qu'on pouvait montrer je ne sais même pas quoi, et que la réponse c'était {-i;i}. Voilà ..

  23. #22
    invite35452583

    Re : [Maths] [MPSI] Nombres complexes : partie finie

    Citation Envoyé par kNz Voir le message
    j'ai eu que 10 minutes pour chercher
    Mais c'est énorme vu que la résolution tient en moins d'un 1/3 page !


    C'est guignolesque, pour ne pas dire plus, ce qu'a fait ton khôlleur.

  24. #23
    invite35452583

    Re : [Maths] [MPSI] Nombres complexes : partie finie

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Mais c'est énorme vu que la résolution tient en moins d'un 1/3 page !


    C'est guignolesque, pour ne pas dire plus, ce qu'a fait ton khôlleur.
    Maintenant moi ça m'a amusé de trouver donc et merci à kNz d'avoir posté le problème. (Euh... je vous apprend quelque chose en vous disant que j'ai mis plus de 10 minutes pour trouver )

  25. #24
    inviteaeeb6d8b

    Re : [Maths] [MPSI] Nombres complexes : partie finie

    Re !

    Ce khôlleur a mal fait son boulot, alors...

  26. #25
    invite341bf20d

    Re : [Maths] [MPSI] Nombres complexes : partie finie

    Bonsoir , pourriez-vous m'ecrire la démonstration par récurrence du binome de Newton .

    PS : Ne me donner pas celle de wikipedia j'ai rien compris .