Bonsoir à tous,
Je suis un peu absent en ce moment, je suis désolé mais j'ai pas mal de choses à faire
Voilà un petit exercice (de khôlle) qui peut faire réfléchir, je précise que je connais la solution mais pas la démonstration .. (oui c'est pas top ^^)
Enoncé :
On considèreune partie finie de
Caractériser
Ca veut dire quoi caractériser Z ?
Salut,
Tu trouves ce qu'elle contient :]
Bonjour.
Joli exercice ! C'est le fini qui m'intrigue. (ça sent j à pein nez aussi...)
Le fini te permet de trouver une condition nécessaire, déjà instinctivement tu peux éliminer une grande partie du plan complexe puisque la partie est finie, mais c'est même pas super simple à prouver ...
Bon vu qu'il n'y a personne :
C'est quoi le principe de l'exo ?
Et bien tu dois trouver ce que contient Z
Je ne sais pas comment il faut faire pour le démontrer, mais je connais la réponse, je sais déjà qu'on peut éliminer tous les complexes de _ _ _ _ _ _ strictement supérieur à _ .
C'est une phrase à trous
Sinon dans le cas général je pense qu'il faut jouer sur les modules mais comment je ne vois pas
Envoyé par kNz
C'est çà ? ^^
Non pas d'chance ^^
J'aurais dit qu'on pouvait éliminer 0 tout simplement sinon
C'est les modules strictement supérieurs à 1, j'en dis pas plus sinon tout le monde aura la réponse sans que personne n'ait la démonstration, ça serait pas drôle.
Dis-moi. Z est-il un groupe, un anneau ou un espace vectoriel?
A priori on ne le sait pas.
Si tu arrives à montrer l'un des 3, on sera déjà très bien avancé. Mais je doute que Z ait une telle structure (mais pourquoi pas).
Il y a déjà i et -i dans Z, mais ça ne fait pas avancer le schmilblick...
Je sèche vraiment sur cet exo. Je suis passé par tout, même des études de fonctions à deux variables
J'avais calculé
Joli exercice !
Je pense que le fini ne sert qu'à éviter les deux réponses triviales : IR et C
Une interprétation géométrique de la définition de Z peut être bénéfique
Re !
Comme l'a dit kNz, on peut montrer qu'on peut éliminer les complexes de module strictement supérieur à 1 (en supposant que Z en contient un et en montrant que Z est alors infini).
De même, aucun réel n'appartient à Z.
Finalement on sait que Z est inclus dans la boule (fermée) unité inter IRc
Je trouve que l'exo est pas super bien posé
Sinon {i,-i} convient
Romain
PS : au fait, je crois qu'on peut laisser tomber la représentation géométrique !
Tous les réels ne font pas aussi parmi de l'ensemble rechérché.
Si z est un réel strictement négatif, z^2 - z + 1 >1 et donc de module > à 1 ==> un ensemble infini.
De même si z est un réel strictement positif, z^2 + z + 1 a un module > à 1.
Si z = 0 ==> z^2 - z + 1 = z^2 + z + 1 = 1. Ce qui, de suite conduit au même raisonnement ou conclusion.
L'ensemble Z recherché est inclus dans la boule (peut-être fermée) unité , boule privée des réels.
Tu viens de répeter ce que j'avais écrit juste au-dessus
Tu peux enlever le peut-êtreL'ensemble Z recherché est inclus dans la boule (peut-être fermée) unité , boule privée des réels.
Z et inclus dans la boule fermée unitée privée des réels car i et -i sont dans Z
Romain
Les complexes qui engendrent une partie finie stable pour z->z²+z+1=P(z) sont les racines de P(z)-z, P(P(z))-z, P(P(P(z)))-z...
Les éléments formant un cycle d'ordre 1 sous l'action de P sont i et -i.
Les éléments formant un cycle d'ordre 2 sous l'action de P sont -1+/-i.racine(2)
... pas fait le calcul pour les autres ça devient nécessairement imbuvables.
Pour Q(z)=z²-z+1, les éléments d'ordre 1 sont l'unique 1, les éléments d'ordre 2 sont i et -i, (idem pour les calculs).
Toujours est-il que la plupart des complexes ont des orbites dénombrable sous l'action de P ou de Q et dénombrables également sous l'action de P et Q. Il existe une infinité (continue) de parties stables dénombrables : il suffit de considérer de telles orbites.
L'espoir est de réussir à montrer que seuls i et -i engendrent des orbites finies car les autres éléments à orbite finie vont être des racines de polynôme de degré 6 et plus. (On peut toujours diviser par z²+1 ce qui a suffi pour déterminer -1+/-iracine(2) mais ne suffit plus ensuite)
lz²+z+1l²+lz²-z+1l²=2lzl²+2(x²-y²+1) certes >2lzl² pour lzl<=1 mais cela ne permet pas encore d'exclure tous les complexes de module >1.
Par contre on peut éliminer pour débuter ainsi :
z->z²+z+1=(z+1/2)²+3/4 si z est à une distance r de -1/2 il est à une distance r² de 3/4, si le second cercle ainsi formé englobe le 1er alors z²+z+1 est à une distance>r de -1/2 , et on se rend facilement à l'évidence que pour cette nouvelle distance le même processus continue. Les éléments en orbite finie pour P sont dans le cercle, après calcul, de centre -1/2 et de rayon (1+racine(6))/2.
On peut faire de même pour Q, on obtient le cercle de centre 1/2 et de rayon (1+racine(2))/2.
Pour avoir une orbite sous l'action des éléments formés avec P et Q il faut être dans l'intersection I.
Mais il faut également que leur image par P et Q soit dans I.
Aïe, pas évident à déterminer, par contre on peut espérer recouvrir par des zones pour lesquels on arrive à montrer que l'orbite est dénombrable et donc non finie.
Il y a un moyen de montrer (relativement élémentaire et court en plus) le résultat :
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Salut !
à kNz :
apparemment, tu es en sup (MPSI) et cet exo a été posé en khôlle. Si tu as l'énoncé et la réponse, c'est qu'un camarade te l'a communiqué (l'exo), mais il ne t'a pas dit comment faire pour trouver la solution...
J'aimerais savoir si c'est parce qu'il n'en a pas eu le temps/l'envie (ou que tu ne voulais pas connaître la solution), ou si c'est parce que même après la khôlle, il était incapable de reconstruire le raisonnement.
Je m'explique : ce genre d'exo, sans indications comme celles que donne homotopie, n'apporte rien en sup, et si le khôlleur s'est contenté, à la fin de l'heure, de lui donner la solution en lui disant un truc du genre "on vérifie que ça marche", c'est qu'il s'agit d'un mauvais khôlleur
J'ai le sentiment (aujourd'hui, je ne pouvais pas l'avoir en sup) que certains khôlleurs donnent des exercices trop difficiles et qui les dépassent parfois, simplement parce qu'ils les ont trouvés dans des bouquins...
Enfin, je disais ça (ça n'a aucun intérêt en fait...), parce que passer une heure, en début de sup, à chercher, seul, sans indications, un exo de ce type et ne pas avoir un corrigé clair (et se prendre éventuellement une sale note), c'est pas terrible
Romain
Salut Romain,
En fait, le prof m'a donné cet exo parce que je crois qu'il avait plus grand chose et j'ai eu que 10 minutes pour chercher, dnoc forcément c'était pas extra, et à la fin comme on était pressé il m'a effectivement dit qu'on pouvait montrer je ne sais même pas quoi, et que la réponse c'était {-i;i}. Voilà ..
Mais c'est énorme vu que la résolution tient en moins d'un 1/3 page !
C'est guignolesque, pour ne pas dire plus, ce qu'a fait ton khôlleur.
Maintenant moi ça m'a amusé de trouver doncMais c'est énorme vu que la résolution tient en moins d'un 1/3 page !
C'est guignolesque, pour ne pas dire plus, ce qu'a fait ton khôlleur.et merci à kNz d'avoir posté le problème. (Euh... je vous apprend quelque chose en vous disant que j'ai mis plus de 10 minutes pour trouver
)
Re !
Ce khôlleur a mal fait son boulot, alors...
Bonsoir , pourriez-vous m'ecrire la démonstration par récurrence du binome de Newton .
PS : Ne me donner pas celle de wikipedia j'ai rien compris .
