Cristallographie : sous-groupes ponctuels du système quadratique (par exemple)

[jacovador]

Bonjour,

Pour le système quadratique, par exemple, le groupe de symétries ponctuel holoèdre est 4/mmm. Les autres 6 groupes ponctuels mérièdres du système quadratique sont 42m, 4mm, 422, 4/m, 4, 4 (avec le "surlignement" en dessous !). A ces 7 groupes ponctuels sont associés 68 groupes d'espaces.
A chaque minéral du système quadratique, les cristallographes associent l'un des 68 groupes d'espace. Par exemple, la hausmannite a le groupe d'espace I41md qui est associé au groupe mérièdre 4mm.

Les 6 groupes mérièdres du système quadratique sont tous des sous-groupes du groupe holoèdre 4/mmm. Tous ces sous-groupes ont un axe d'ordre 4 selon c. Mais le groupe 4/mmm a d'autres sous-groupes de moindre symétrie : mmm, 222, 2/m, 2, m, 1, ...

D'où mon questionnement :
Je comprends bien que le "motif" qui remplit une maille quadratique puisse avoir une symétrie inférieure à celle du réseau quadratique (4/mmm), mais pourquoi aurait-il toujours un axe d'ordre 4 (éventuellement avec glissement) ?
Est-il impossible qu'une maille quadratique soit remplie avec un motif n'ayant aucune symétrie ? Ou bien, si c'était possible, le minéral serait-il "déclassé" en "triclinique", bien qu'ayant un réseau quadratique ?

Une autre façon (plus simple) de poser la même question concerne le "groupe des papiers peints" (2D) :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_papier_peint
Si je dessine la lettre "J" (qui n'a aucune symétrie) au milieu des mailles d'un réseau carré, à quel groupe dois-je rattacher ce papier peint ? p4, p4g, p4m ou p1 ?
https://www2.clarku.edu/faculty/djoy...seventeen.html

Merci par avance pour vos éclaircissements.
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[Tawahi-Kiwi]

Est-il impossible qu'une maille quadratique soit remplie avec un motif n'ayant aucune symétrie ? Ou bien, si c'était possible, le minéral serait-il "déclassé" en "triclinique", bien qu'ayant un réseau quadratique ?

Tout a fait, c'est meme le cas le plus frequent. Les caracteristiques du motif dans un reseau n'ont pas de repercutions directes sur le type de reseau (au mieux, la symetrie augmente car le motif possede une symetrie interne qui le permet. Ce qui importe est l'agencement de ces motifs les uns par rapport aux autres, et donc la definition de la maille primitive.

Prends un exemple comme NaCl; le motif de la maille primitive est fait d'un atome de chlore et un atome de sodium...difficile de trouver une symetrie cubique a l'interieur d'un tel motif

Dans le lien suivant ( http://lampx.tugraz.at/~hadley/ss1/c.../nacl/nacl.php ), clique sur 'conventional unit cell', ensuite sur 'primitive unit cell' pour visualiser la chose.

T-K

[jacovador]

Tawahi-Kiwi,

Je pense que je ne me suis pas bien fait comprendre ...
Je suis d'accord avec toi pour l'exemple de NaCl : si le motif est un couple d'ions, il n'a pas la symétrie cubique et pourtant la halite est bien cubique. Mais si le motif est le contenu de la maille conventionnelle, alors il a bien les symétries imposées par le système cubique.

Par question était différente : si le motif de la maille conventionnelle (par exemple cubique) n'a pas les symétries nécessaires pour appartenir au système cubique (4 axes d'ordre 3), alors le minéral est-il considéré comme cubique ?

Aujourd'hui, je pense que :
1) la situation doit être rare : si le motif n'a pas les symétrie du cube, il a peu de chances de s'assembler dans des mailles cubiques
2) lorsque ça arrive, le minéral est "déclassé" dans le système cristallin de moindre symétrie.
Un exemple est la staurotide, dont la maille est orthorhombique (3 angles droits) mais qui est classée en monoclinique (2 angles droits) parce que son motif manque de "miroirs" et/ou d'axes 2.
http://rruff.geo.arizona.edu/AMS/minerals/Staurolite

En résumé, pour classer un minéral, finalement, je pense que le groupe de symétrie ponctuel du motif est plus "fort" que la forme de la maille conventionnelle.

[Tawahi-Kiwi]

si le motif de la maille conventionnelle (par exemple cubique) n'a pas les symétries nécessaires pour appartenir au système cubique (4 axes d'ordre 3), alors le minéral est-il considéré comme cubique ?

Je pense que oui; n'importe quel groupe spatial peut etre exprimer par sa classe cristalline correspondante, il suffit juste de prendre une maille plus grande.

Un exemple est la staurotide, dont la maille est orthorhombique (3 angles droits) mais qui est classée en monoclinique (2 angles droits) parce que son motif manque de "miroirs" et/ou d'axes 2.

Cas particulier, mais le staurotide est pseudo-orthorhombique; l'angle β est de 90,45º, ca ne peut etre qu'un cristal monoclinique (pour la maille, comme pour la macro meme si difficilement visible). Son groupe spatial est C2/m, donc en plus, il est holoedre. Ce qui se passe, c'est que des vacances dans les octahedres pour metaux de transitions font varier l'angle β jusqu'a 90º, mais ce n'est "orthorhombique" a ce moment la que par accident.

http://rruff.info/doclib/cm/vol31/CM31_551.pdf

Les amphiboles montrent quelque chose de similaire (et meme certains pyroxenes je pense), la hornblende et l'aegyrine peuvent egalement passer par ce point lors de variations de compositions chimiques (ou optiquement en tout cas le cristal est orthorhombique).

T-K

[A voir en vidéo sur Futura]