Quelles sont les théories capables de démontrer les théorèmes de base de l'arithmétique ?

[andretou]

Bonjour à tous
Il est indiqué dans l'article Wikipédia sur les théorèmes d'incomplétude que :
"Le premier théorème d'incomplétude établit qu'une théorie suffisante pour y démontrer les théorèmes de base de l'arithmétique est nécessairement incomplète"

Si la théorie des ensembles est bien connue pour être une théorie capable de démontrer les théorèmes de base de l'arithmétique, auriez-vous svp la possibilité de m'indiquer d'autres théories possédant cette propriété ?
Par exemple, est-ce que la théorie des probabilités ou la mécanique quantique (sous sa forme axiomatisée) permettent de démontrer les théorèmes de base de l'arithmétique ?
En fin de compte, qu'est-ce qui définit une théorie "suffisante pour y démontrer les théorèmes de base de l'arithmétique" ?

Merci d'avance pour vos réponses
-----

[andretou]

Tout particulièrement : est-ce que, selon vous, la théorie des espaces de Hilbert est une théorie permettant de démontrer les théorèmes de base de l'arithmétique ?

[gg0]

Bonjour.

Pourquoi aller chercher des théories éloignées, qui à priori contiennent déjà l'arithmétique sans que ce soit leur objet ? L'article de Wikipédia parle de théories de base des maths, comme ZF ou les Principia mathematica de Russel et whitehead, ou si tu préfères, le "théorie des ensembles" de Bourbaki. Ou simplement l'axiomatique de Peano, dans un cadre de logique classique.

Les théories que tu cites sont des théories d'objets élaborés, qui ne servent pas à démontrer les règles élémentaires des maths, mais les supposent connues et s'en servent à l'occasion.

[Médiat]

En fin de compte, qu'est-ce qui définit une théorie "suffisante pour y démontrer les théorèmes de base de l'arithmétique" ?

Une théorie dans laquelle on peut représenter et démontrer les axiomes de l'arithmétique de Robinson, en tout état de cause, il s'agit de théories du 1er ordre !

[A voir en vidéo sur Futura]

[andretou]

Une théorie dans laquelle on peut représenter et démontrer les axiomes de l'arithmétique de Robinson

Démontrer des axiomes ? Je croyais que par définition un axiome ne se démontrait pas, contrairement aux théorèmes...

en tout état de cause, il s'agit de théories du 1er ordre !

Pouvez-vous svp m'indiquer si la géométrie hilbertienne est une théorie du premier ordre ?

[Médiat]

Démontrer des axiomes ? Je croyais que par définition un axiome ne se démontrait pas, contrairement aux théorèmes...

Il faudrait peut-être en apprendre un peu plus avant de s'attaquer à Gödel

Pouvez-vous svp m'indiquer si la géométrie hilbertienne est une théorie du premier ordre ?

Non

[Merlin95]

Démontrer des axiomes ? Je croyais que par définition un axiome ne se démontrait pas, contrairement aux théorèmes...

Une théorie peut démontrer une autre théorie avec d'autres axiomes (mais c'est pas trés rigoureux de dire ça peut-être, hum une chance sur deux ?).

[albanxiii]

Tout particulièrement : est-ce que, selon vous, la théorie des espaces de Hilbert est une théorie permettant de démontrer les théorèmes de base de l'arithmétique ?

J'aimerais tellement que vous nous parliez de votre compréhension de la question, et des espaces de Hilbert au passage, juste histoire de vérifier que vous n'êtes pas encore une fois en train de vous foutre de la gueule de tout le monde.

[gg0]

D'ailleurs l'expression "théorie des espaces de Hilbert" n'a aucun sens dans ce cadre !! C'est simplement l'emploi par un incompétent de mots savants qu'il ne comprend pas ... comme toujours.

[Médiat]

Non

Je précise : à cause des axiomes de continuité et d'archimédianité

[Deedee81]

Salut,

Rien à redire sur les théories citées, voir les remarques ci-dessus.

les théorèmes de base de l'arithmétique" ?

C'est quoi "les théorèmes de base" de l'arithmétique. Exactement (sinon ça va tourner en rond). Et ne demande pas aux autres d'expliquer, c'est TOI qui a employé cette expression.

l'emploi par un incompétent de mots savants qu'il ne comprend pas

..... ni les réponses. C'est pour ça qu'il repose souvent les mêmes questions sous toutes sortes de formes.... en tournant en rond (là aussi). Par exemple il a posé des questions analogues en physique et on lui a dit noir sur blanc que la mécanique quantique ne permettait pas de démontrer des théorèmes et on lui a même dit pourquoi.

C'est un manque total de respect des participants mais je ne crois pas qu'Andretou le fait exprès.

[andretou]

Une théorie dans laquelle on peut représenter et démontrer les axiomes de l'arithmétique de Robinson, en tout état de cause, il s'agit de théories du 1er ordre !

Auriez-vous SVP quelques exemples de telles théories ?

[pm42]

Auriez-vous SVP quelques exemples de telles théories ?

Elles ont été données plus haut. Comme le disent les autres, on a l'impression de parler à un chatbot à l'ancienne qui se contente de rebondir en réagençant des mots sans un début de compréhension, de mémoire, etc.

[albanxiii]

Bonjour Deedee81,

mais je ne crois pas qu'Andretou le fait exprès.

C'est là que nos avis diffèrent. Tu es un grand optimiste

[pm42]

C'est là que nos avis diffèrent. Tu es un grand optimiste

Oui. Ceci dit, le concept de "faire exprès" serait à déterminer et cette discussion relève du forum "psychologie".

Parce que là, j'ai plutôt l'impression d'un comportement compulsif qui consiste à poser une question, un peu n'importe laquelle puis d'entretenir la conversation à coup de "oui mais", "ah bon", "mais encore ?" pour avoir de l'attention.

Est on responsable de ce genre de chose ou pas ? Vaste sujet.

[Deedee81]

Tu es un grand optimiste

Plutôt un grand naïf, je l'admet

Andretou, je t'ai posé une question et tu n'as pas répondu.

(sans cette réponse, tout a été dit et la discussion va faire long feu)

[andretou]

Elles ont été données plus haut.

Merci alors de bien vouloir m'indiquer dans quel message.

[andretou]

Andretou, je t'ai posé une question et tu n'as pas répondu.

Je me demandais en effet si par exemple le théorème d'Euclide sur les nombres premiers faisait partie des théorèmes de base de l'arithmétique (c'est pas moi qui ai inventé cette expression, c'est Wikipédia !).
Mais c'est une question que j'envisageais de poser après...

[pm42]

Merci alors de bien vouloir m'indiquer dans quel message.

Si tu n'es même pas capable de faire l'effort de lire les fils que tu as créés ou de les comprendre, ce qui est ce qu'on te reproche, tu penses que je vais faire des efforts pour toi ?

[Deedee81]

Salut,

Merci alors de bien vouloir m'indiquer dans quel message.

Tu plaisantes ? C'est dans le message qui précède celui que tu citais !!!! C'est dans les tous premiers messages.

Je me demandais en effet si par exemple le théorème d'Euclide sur les nombres premiers faisait partie des théorèmes de base de l'arithmétique (c'est pas moi qui ai inventé cette expression, c'est Wikipédia !).

T'est sûr là ? J'ai cherché et rien trouvé (ni dans l'article sur le théorème d'Euclide, ni ailleurs).
Tu ne confondrais pas avec le théorème fondamental de l'arithmétique par hasard ? Attention c'est LE théorème fondamental, pas LES théorèmes fondamentaux. Il n'y en a qu'un.

Mais c'est une question que j'envisageais de poser après...

Ah ! Donc tu as posé une question en employant une expression dont tu ignores le sens. Ce qui veut dire que depuis le début tu te [censure] ... tu te moques de nous à fond la caisse.
Je demande une sanction et une lourde. Parce que là, comme beaucoup ici, je commence à en avoir ras la casquette de ton manque de respect.

[andretou]

Je demande une sanction et une lourde. Parce que là, comme beaucoup ici, je commence à en avoir ras la casquette de ton manque de respect.

C'est un forum de discussion scientifique ou un tribunal ?

[andretou]

j'ai cherché et rien trouvé (ni dans l'article sur le théorème d'Euclide, ni ailleurs).

On trouve l'expression "les théorèmes de base de l'arithmétique" ICI au 2ème paragraphe

[Deedee81]

On trouve l'expression "les théorèmes de base de l'arithmétique" ICI au 2ème paragraphe

Merci,

C'est un forum de discussion scientifique ou un tribunal ?

Ah, parce que se moquer des autres c'est acceptable et c'est une discussion scientifique ? Bon, au moins je prend ça comme un aveu.

[andretou]

Tu plaisantes ? C'est dans le message qui précède celui que tu citais !!!! C'est dans les tous premiers messages.

Tu veux parler du message #4 ?
"Une théorie dans laquelle on peut représenter et démontrer les axiomes de l'arithmétique de Robinson, en tout état de cause, il s'agit de théories du 1er ordre !"
Je souhaite simplement avoir quelques exemples...

[gg0]

Doit-on perdre son temps pour des non-comprenants ? Tout était dit dès mon message #3, mais quand le questionneur, habitué de Futura (plus de 1800 messages, dont un certain nombre fermés), ne lit pas les réponses qui ne lui conviennent pas, il faut arrêter. Ce n'est pas ici un tribunal, mais simplement une question de justice : Les messages inutiles encombrent le serveur.

[JPL]

Discussion fermée.