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Arithmétique de Peano du premier ordre



  1. #1
    Médiat

    Arithmétique de Peano du premier ordre


    ------

    Bonjour,

    Dans un fil récent j'ai eu l'occasion de constater que certaines personnes avaient une mauvaise connaissance de cette théorie, au point de proposer des démonstrations intuitives mais complètement fausses, de mon coté j'ai proposé deux démonstrations incomplètes mais correctes.

    Je propose d'utiliser ce fil pour poser toutes les questions concernant cette arithmétique d'un point de vue formel (*) ; je n'ai pas la prétention de pouvoir répondre à toutes les questions, mais il y a d'autres intervenants qui le peuvent.


    Si personne n'est intéressé par ce sujet, je demanderai à la modération de supprimer ce fil inutile, au contraire s'il a du succès on pourrait étendre à d'autres arithmétiques.

    (*) La conjecture de Goldbach présente des caractéristiques intéressantes du point de vue de la logique, ces questions ont leur place ici, mais pas les "tentatives" de démonstration, ni les questions (la majorité) concernant les nombres premiers

    -----
    Dernière modification par Médiat ; 31/05/2021 à 11h25.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  3. #2
    Médiat

    Re : Arithmétique de Peano du premier ordre

    Pour lancer la boule de neige :

    A-t-on vraiment besoin du schémas d'axiomes de récurrence ?

    En effet, soit une formule de AP (Arithmétique de Peano), qui vérifie :
    1)
    2)

    Sans axiome de récurrence pour , on ne peut conclure, pourtant si , alors il existe au moins un élément tel que , et si on prend le plus petit avec cette propriété (avec des entiers, c'est possible), alors soit , ce qui est impossible cf. 1), soit il existe tel que (axiome de AP), or on doit avoir sinon ne serait pas le plus petit, mais alors 2) entrainerait , ce qui est contradictoire, donc pas de tel et donc est démontré (sans axiome de récurrence).

    Une petite erreur, peut-être dans ce raisonnement ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Arithmétique de Peano du premier ordre

    Bonjour.

    Sans récurrence, comment peut-on être sûr de l'existence d'un "plus petit" ? D'ailleurs, comment est défini l'ordre ?

    Cordialement.

  5. #4
    Médiat

    Re : Arithmétique de Peano du premier ordre

    Bonjour,
    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Sans récurrence, comment peut-on être sûr de l'existence d'un "plus petit" ?
    Il y a d'autres moyens, par exemple dire que s'il existe un entier qui vérifie quoi que ce soit, les plus petits sont en nombre fini, donc il y a bien un plus petit que tous les autres

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    D'ailleurs, comment est défini l'ordre ?
    Ca c'est une bonne question, puisqu'il n'y a pas de relation d'ordre dans le langage, mais on peut la définir :


    Tout ce que j'écris n'ai pas correct, j'essaye de pousser les lecteurs et intervenants dans leur retranchements.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Arithmétique de Peano du premier ordre

    Désolé, médiat, mais je ne vois pas comment tu formalises "les plus petits sont en nombre fini, donc il y a bien un plus petit que tous les autres".

  8. #6
    Médiat

    Re : Arithmétique de Peano du premier ordre

    Ben, si vous avez un entier donné, les entiers plus petit que lui sont en nombre fini, c'est la définition de "fini" (une des 3 usuelles)

    Je vous rappelle que mes réponses ne sont pas là pour vous contredire mais pour mettre en évidence des raisonnements fautifs (je ne parle pas des vôtres ici, mais de ce qui peut sembler intuitif à certains
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  10. #7
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Arithmétique de Peano du premier ordre

    Ok, mais je ne vois pas alors l'intérêt de dire ce qui ne va pas. Ce n'est pas moi qui ai écrit ces "raisonnements".

    Cordialement.

  11. #8
    Merlin95

    Re : Arithmétique de Peano du premier ordre

    Juste pour vous dire que vous êtes trop fort Médiat.

  12. #9
    Merlin95

    Re : Arithmétique de Peano du premier ordre

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message

    En effet, soit une formule de AP (Arithmétique de Peano), qui vérifie
    Pourquoi déjà s'intéresser "aux formules" "de xxxxt" ? Autrement dit que ce soit une formule c'est intéressant mais d'un autre côté ce n'est pas le hasard qui nous fait choisir une formule qui nous soit intéressantes. Donc c'est pas dans la formalisation que se trouve l'essentiel. Non ? Et désolé d'aller encore plus bas que ce que vous proposiez. Et je n'étais pas ironique ou que ce soit dans mon dernier message.
    Dernière modification par Merlin95 ; 31/05/2021 à 16h55.
    « Sans la liberté de blâmer, il n'est point d'éloge flatteur. »

  13. #10
    Médiat

    Re : Arithmétique de Peano du premier ordre

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Ok, mais je ne vois pas alors l'intérêt de dire ce qui ne va pas.
    Quand je dis que quelque chose ne va pas, c'est que ce n'est pas assez précis ou assez complet, même si vous avez mis le doigt dessus
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  14. #11
    Médiat

    Re : Arithmétique de Peano du premier ordre

    Citation Envoyé par Merlin95 Voir le message
    Pourquoi déjà s'intéresser "aux formules" "de xxxxt" ?
    Parce que c'est ça les mathématiques : s'intéresser aux formules


    Autrement dit que ce soit une formule c'est intéressant mais d'un autre côté ce n'est pas le hasard qui nous fait choisir une formule qui nous soit intéressantes.
    Je ne vois pas l'argument ...


    Donc c'est pas dans la formalisation que se trouve l'essentiel. Non ?
    Ben si, pour un formaliste, comme moi, il n'a que cela, pour un platonicien, c'est sa seule façon de parler des objets
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  15. #12
    Merlin95

    Re : Arithmétique de Peano du premier ordre

    Ce que vous dîtes est impossible (tout comme il peut être impossible pour vous ?).

    C'est une blague bien sur
    Dernière modification par Merlin95 ; 31/05/2021 à 17h13.
    « Sans la liberté de blâmer, il n'est point d'éloge flatteur. »

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  17. #13
    Liet Kynes

    Re : Arithmétique de Peano du premier ordre

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Pour lancer la boule de neige :

    A-t-on vraiment besoin du schémas d'axiomes de récurrence ?

    En effet, soit une formule de AP (Arithmétique de Peano), qui vérifie :
    1)
    2)

    Sans axiome de récurrence pour , on ne peut conclure, pourtant si , alors il existe au moins un élément tel que , et si on prend le plus petit avec cette propriété (avec des entiers, c'est possible), alors soit , ce qui est impossible cf. 1), soit il existe tel que (axiome de AP), or on doit avoir sinon ne serait pas le plus petit, mais alors 2) entrainerait , ce qui est contradictoire, donc pas de tel et donc est démontré (sans axiome de récurrence).

    Une petite erreur, peut-être dans ce raisonnement ?
    Une double implication au 2) ?
    Sans questions il n'y a que des problèmes sans réponses.

  18. #14
    Médiat

    Re : Arithmétique de Peano du premier ordre

    Citation Envoyé par Liet Kynes Voir le message
    Une double implication au 2) ?
    Ce sont les hypothèses, c'est moi qui choisit
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  19. #15
    Liet Kynes

    Re : Arithmétique de Peano du premier ordre

    Sans grande conviction (je suis un poil pas concentré= retour du boulot )

    Il manque le s ?:
    alors il existe au moins un élément tel que
    devrait être:
    alors il existe au moins un élément tel que
    Sans questions il n'y a que des problèmes sans réponses.

  20. #16
    Médiat

    Re : Arithmétique de Peano du premier ordre

    Non cette partie est correcte, cela veut simplement dire qu'il y a un élément qui ne vérifie pas la formule
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  21. #17
    Merlin95

    Re : Arithmétique de Peano du premier ordre

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Parce que c'est ça les mathématiques : s'intéresser aux formules


    Je ne vois pas l'argument ...
    Vous voulez dire que la beauté d'une formule est son esthétique ?
    « Sans la liberté de blâmer, il n'est point d'éloge flatteur. »

  22. #18
    Médiat

    Re : Arithmétique de Peano du premier ordre

    Non, je veux juste dire que faire des mathématiques, c'est démontrer des formules
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  24. #19
    Liet Kynes

    Re : Arithmétique de Peano du premier ordre

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Non cette partie est correcte, cela veut simplement dire qu'il y a un élément qui ne vérifie pas la formule
    D’où mon absence de grande conviction et donc l'idée intuitive mais non réfléchie qui me vient que certains raccourcis me semble présents dans la partie concernant béta en faisant fi (petit jeu de mot gratuit) de la formule dans les relations entre alpha et béta.. je reprends demain les phrases pour tirer cette idée vers plus de clarté..
    Sans questions il n'y a que des problèmes sans réponses.

  25. #20
    Merlin95

    Re : Arithmétique de Peano du premier ordre

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Non, je veux juste dire que faire des mathématiques, c'est démontrer des formules
    Méchant va .
    « Sans la liberté de blâmer, il n'est point d'éloge flatteur. »

  26. #21
    andretou

    Re : Arithmétique de Peano du premier ordre

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Désolé, médiat, mais je ne vois pas comment tu formalises "les plus petits sont en nombre fini, donc il y a bien un plus petit que tous les autres".
    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Ben, si vous avez un entier donné, les entiers plus petit que lui sont en nombre fini, c'est la définition de "fini" (une des 3 usuelles)
    Mais quelle est selon vous la définition d'un entier naturel ?
    Plus précisément, d'où provient la relation d'ordre qui les caractérise ?
    - La relation d'ordre provient-elle de la définition même des entiers naturels ?
    - Ou cette relation d'ordre découle-t-elle des axiomes et/ou du modèle de Peano ?
    La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.

  27. #22
    Médiat

    Re : Arithmétique de Peano du premier ordre

    Réponse message #4
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  28. #23
    andretou

    Re : Arithmétique de Peano du premier ordre

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Réponse message #4
    J'ai compris que votre réponse à cette question consiste à faire appel au concept de successeur. Mais le concept de successeur n'implique-t-il pas préalablement l'existence d'une relation d'ordre ?
    La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.

  29. #24
    Médiat

    Re : Arithmétique de Peano du premier ordre

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    J'ai compris que votre réponse à cette question consiste à faire appel au concept de successeur. Mais le concept de successeur n'implique-t-il pas préalablement l'existence d'une relation d'ordre ?
    Voilà une bonne question, pour plusieurs raisons, mais auriez-vous posez cette question, si la fonction des axiomes de Peano avait été baptisé Ubik ou Frolix8 ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  31. #25
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Arithmétique de Peano du premier ordre

    Fan de Philippe K Dick !!

  32. #26
    Médiat

    Re : Arithmétique de Peano du premier ordre

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Fan de Philippe K Dick !!
    Fan inconditionnel depuis 60 ans ; si cela ne tenait qu'à moi, "A scanner darkly" ferait partie des livres obligatoires en première
    Dernière modification par Médiat ; 01/06/2021 à 08h29.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  33. #27
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Arithmétique de Peano du premier ordre

    Salut,

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    J'ai compris que votre réponse à cette question consiste à faire appel au concept de successeur. Mais le concept de successeur n'implique-t-il pas préalablement l'existence d'une relation d'ordre ?
    "successeur" est juste un nom donné à une partie de la définition, ce n'est pas du tout lié à une relation d'ordre. Comme conseillé par Médiat, change son nom et il n'y a plus de problème. Par exemple S comme Spock (mais j'ai bien K Dick aussi )
    Keep it simple stupid

  34. #28
    Médiat

    Re : Arithmétique de Peano du premier ordre

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Par exemple S comme Spock (mais j'ai bien K Dick aussi )
    s comme Siva, à la rigueur.

    Que penser de quelqu'un qui commande un verre de "la villageoise", mais précise "j'aime bien la Romanée Conti aussi" ?

    Désolé pour le HS, mes passions m'emportent. Je donnerais quelques éclaircissements sur les réponses faites à gg0 dans la journée
    Dernière modification par Médiat ; 01/06/2021 à 08h41.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  35. #29
    andretou

    Re : Arithmétique de Peano du premier ordre

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Voilà une bonne question, pour plusieurs raisons, mais auriez-vous posez cette question, si la fonction des axiomes de Peano avait été baptisé Ubik ou Frolix8 ?
    Quelle définition auriez-vous alors donnée à la fonction Ubik ou Frolix8 ?
    La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.

  36. #30
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Arithmétique de Peano du premier ordre

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Quelle définition auriez-vous alors donnée à la fonction Ubik ou Frolix8 ?
    La même. C'est juste un changement de nom.
    Keep it simple stupid

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