Arithmétique de Peano du premier ordre

[Médiat]

Bonjour,

Dans un fil récent j'ai eu l'occasion de constater que certaines personnes avaient une mauvaise connaissance de cette théorie, au point de proposer des démonstrations intuitives mais complètement fausses, de mon coté j'ai proposé deux démonstrations incomplètes mais correctes.

Je propose d'utiliser ce fil pour poser toutes les questions concernant cette arithmétique d'un point de vue formel (*) ; je n'ai pas la prétention de pouvoir répondre à toutes les questions, mais il y a d'autres intervenants qui le peuvent.


Si personne n'est intéressé par ce sujet, je demanderai à la modération de supprimer ce fil inutile, au contraire s'il a du succès on pourrait étendre à d'autres arithmétiques.

(*) La conjecture de Goldbach présente des caractéristiques intéressantes du point de vue de la logique, ces questions ont leur place ici, mais pas les "tentatives" de démonstration, ni les questions (la majorité) concernant les nombres premiers
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[Médiat]

Pour lancer la boule de neige :

A-t-on vraiment besoin du schémas d'axiomes de récurrence ?

En effet, soit une formule de AP (Arithmétique de Peano), qui vérifie :
1)
2)

Sans axiome de récurrence pour , on ne peut conclure, pourtant si , alors il existe au moins un élément tel que , et si on prend le plus petit avec cette propriété (avec des entiers, c'est possible), alors soit , ce qui est impossible cf. 1), soit il existe tel que (axiome de AP), or on doit avoir sinon ne serait pas le plus petit, mais alors 2) entrainerait , ce qui est contradictoire, donc pas de tel et donc est démontré (sans axiome de récurrence).

Une petite erreur, peut-être dans ce raisonnement ?

[gg0]

Bonjour.

Sans récurrence, comment peut-on être sûr de l'existence d'un "plus petit" ? D'ailleurs, comment est défini l'ordre ?

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

Sans récurrence, comment peut-on être sûr de l'existence d'un "plus petit" ?

Il y a d'autres moyens, par exemple dire que s'il existe un entier qui vérifie quoi que ce soit, les plus petits sont en nombre fini, donc il y a bien un plus petit que tous les autres

D'ailleurs, comment est défini l'ordre ?

Ca c'est une bonne question, puisqu'il n'y a pas de relation d'ordre dans le langage, mais on peut la définir :


Tout ce que j'écris n'ai pas correct, j'essaye de pousser les lecteurs et intervenants dans leur retranchements.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Désolé, médiat, mais je ne vois pas comment tu formalises "les plus petits sont en nombre fini, donc il y a bien un plus petit que tous les autres".

[Médiat]

Ben, si vous avez un entier donné, les entiers plus petit que lui sont en nombre fini, c'est la définition de "fini" (une des 3 usuelles)

Je vous rappelle que mes réponses ne sont pas là pour vous contredire mais pour mettre en évidence des raisonnements fautifs (je ne parle pas des vôtres ici, mais de ce qui peut sembler intuitif à certains

[gg0]

Ok, mais je ne vois pas alors l'intérêt de dire ce qui ne va pas. Ce n'est pas moi qui ai écrit ces "raisonnements".

Cordialement.

[Merlin95]

Juste pour vous dire que vous êtes trop fort Médiat.

[Merlin95]

En effet, soit une formule de AP (Arithmétique de Peano), qui vérifie

Pourquoi déjà s'intéresser "aux formules" "de xxxxt" ? Autrement dit que ce soit une formule c'est intéressant mais d'un autre côté ce n'est pas le hasard qui nous fait choisir une formule qui nous soit intéressantes. Donc c'est pas dans la formalisation que se trouve l'essentiel. Non ? Et désolé d'aller encore plus bas que ce que vous proposiez. Et je n'étais pas ironique ou que ce soit dans mon dernier message.

[Médiat]

Ok, mais je ne vois pas alors l'intérêt de dire ce qui ne va pas.

Quand je dis que quelque chose ne va pas, c'est que ce n'est pas assez précis ou assez complet, même si vous avez mis le doigt dessus

[Médiat]

Pourquoi déjà s'intéresser "aux formules" "de xxxxt" ?

Parce que c'est ça les mathématiques : s'intéresser aux formules

Autrement dit que ce soit une formule c'est intéressant mais d'un autre côté ce n'est pas le hasard qui nous fait choisir une formule qui nous soit intéressantes.

Je ne vois pas l'argument ...

Donc c'est pas dans la formalisation que se trouve l'essentiel. Non ?

Ben si, pour un formaliste, comme moi, il n'a que cela, pour un platonicien, c'est sa seule façon de parler des objets

[Merlin95]

Ce que vous dîtes est impossible (tout comme il peut être impossible pour vous ?).

C'est une blague bien sur

[Liet Kynes]

Pour lancer la boule de neige :

A-t-on vraiment besoin du schémas d'axiomes de récurrence ?

En effet, soit une formule de AP (Arithmétique de Peano), qui vérifie :
1)
2)

Sans axiome de récurrence pour , on ne peut conclure, pourtant si , alors il existe au moins un élément tel que , et si on prend le plus petit avec cette propriété (avec des entiers, c'est possible), alors soit , ce qui est impossible cf. 1), soit il existe tel que (axiome de AP), or on doit avoir sinon ne serait pas le plus petit, mais alors 2) entrainerait , ce qui est contradictoire, donc pas de tel et donc est démontré (sans axiome de récurrence).

Une petite erreur, peut-être dans ce raisonnement ?

Une double implication au 2) ?

[Médiat]

Une double implication au 2) ?

Ce sont les hypothèses, c'est moi qui choisit

[Liet Kynes]

Sans grande conviction (je suis un poil pas concentré= retour du boulot )

Il manque le s ?:
alors il existe au moins un élément tel que
devrait être:
alors il existe au moins un élément tel que

[Médiat]

Non cette partie est correcte, cela veut simplement dire qu'il y a un élément qui ne vérifie pas la formule

[Merlin95]

Parce que c'est ça les mathématiques : s'intéresser aux formules


Je ne vois pas l'argument ...

Vous voulez dire que la beauté d'une formule est son esthétique ?

[Médiat]

Non, je veux juste dire que faire des mathématiques, c'est démontrer des formules

[Liet Kynes]

Non cette partie est correcte, cela veut simplement dire qu'il y a un élément qui ne vérifie pas la formule

D’où mon absence de grande conviction et donc l'idée intuitive mais non réfléchie qui me vient que certains raccourcis me semble présents dans la partie concernant béta en faisant fi (petit jeu de mot gratuit) de la formule dans les relations entre alpha et béta.. je reprends demain les phrases pour tirer cette idée vers plus de clarté..

[Merlin95]

Non, je veux juste dire que faire des mathématiques, c'est démontrer des formules

Méchant va .

[andretou]

Désolé, médiat, mais je ne vois pas comment tu formalises "les plus petits sont en nombre fini, donc il y a bien un plus petit que tous les autres".

Ben, si vous avez un entier donné, les entiers plus petit que lui sont en nombre fini, c'est la définition de "fini" (une des 3 usuelles)

Mais quelle est selon vous la définition d'un entier naturel ?
Plus précisément, d'où provient la relation d'ordre qui les caractérise ?
- La relation d'ordre provient-elle de la définition même des entiers naturels ?
- Ou cette relation d'ordre découle-t-elle des axiomes et/ou du modèle de Peano ?

[Médiat]

Réponse message #4

[andretou]

Réponse message #4

J'ai compris que votre réponse à cette question consiste à faire appel au concept de successeur. Mais le concept de successeur n'implique-t-il pas préalablement l'existence d'une relation d'ordre ?

[Médiat]

J'ai compris que votre réponse à cette question consiste à faire appel au concept de successeur. Mais le concept de successeur n'implique-t-il pas préalablement l'existence d'une relation d'ordre ?

Voilà une bonne question, pour plusieurs raisons, mais auriez-vous posez cette question, si la fonction des axiomes de Peano avait été baptisé Ubik ou Frolix8 ?

[gg0]

Fan de Philippe K Dick !!

[Médiat]

Fan de Philippe K Dick !!

Fan inconditionnel depuis 60 ans ; si cela ne tenait qu'à moi, "A scanner darkly" ferait partie des livres obligatoires en première

[Deedee81]

Salut,

J'ai compris que votre réponse à cette question consiste à faire appel au concept de successeur. Mais le concept de successeur n'implique-t-il pas préalablement l'existence d'une relation d'ordre ?

"successeur" est juste un nom donné à une partie de la définition, ce n'est pas du tout lié à une relation d'ordre. Comme conseillé par Médiat, change son nom et il n'y a plus de problème. Par exemple S comme Spock (mais j'ai bien K Dick aussi )

[Médiat]

Par exemple S comme Spock (mais j'ai bien K Dick aussi )

s comme Siva, à la rigueur.

Que penser de quelqu'un qui commande un verre de "la villageoise", mais précise "j'aime bien la Romanée Conti aussi" ?

Désolé pour le HS, mes passions m'emportent. Je donnerais quelques éclaircissements sur les réponses faites à gg0 dans la journée

[andretou]

Voilà une bonne question, pour plusieurs raisons, mais auriez-vous posez cette question, si la fonction des axiomes de Peano avait été baptisé Ubik ou Frolix8 ?

Quelle définition auriez-vous alors donnée à la fonction Ubik ou Frolix8 ?

[Deedee81]

Quelle définition auriez-vous alors donnée à la fonction Ubik ou Frolix8 ?

La même. C'est juste un changement de nom.