Arithmétique de Peano du premier ordre

[Médiat]

La même. C'est juste un changement de nom.

Je confirme :

si la fonction des axiomes de Peano avait été baptisé Ubik ou Frolix8

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[andretou]

Mais dans la formule du #4, on ne connaît pas la définition de s(z)...

[Médiat]

Mais dans la formule du #4, on ne connaît pas la définition de s(z)...

Si, puisque c'est dans le cadre de AP, les axiomes s'appliquent

[andretou]

Si, puisque c'est dans le cadre de AP, les axiomes s'appliquent

Quand Peano emploie le terme de "successeur", il n'en donne pas de définition.
C'est pourquoi il me semble qu'on ne peut en deviner la signification qu'à condition d'admettre préalablement l'existence d'une relation d'ordre entre les entiers...

[Médiat]

Quand Peano emploie le terme de "successeur", il n'en donne pas de définition.

Bien sûr que si : ce sont les axiomes !

[Deedee81]

C'est pourquoi il me semble qu'on ne peut en deviner la signification qu'à condition d'admettre préalablement l'existence d'une relation d'ordre entre les entiers...

Cela a été dit plus haut : rien à voir avec une relation d'ordre. Tu recommences à répondre sans lire les réponses. Ce manque de respect des autres commence à m'échauffer les oreilles.

[albanxiii]

Tu recommences à répondre sans lire les réponses. Ce manque de respect des autres commence à m'échauffer les oreilles.

Merci Deedee81, cela m'évite de le répéter. Andretou, vous avez déjà causé la fermeture d'un fil cette semaine à cause de cette attitude. Si vous persistez ici, vos messages seront modérés. Soit vous faites un effort, vous vous vous abstenez de participer.

[andretou]

Bien sûr que si : ce sont les axiomes !

Les axiomes
Quand Peano déclare que 0 est un entier naturel, est-ce que cela est suffisant pour définir ce qu'est un entier naturel ?

[Médiat]

J'abandonne : trop de mauvaise foi (au mieux)

[Deedee81]

EDIT croisement avec Médiat mais j'ai pas beaucoup plus d'espoir

Les axiomes
Quand Peano déclare que 0 est un entier naturel, est-ce que cela est suffisant pour définir ce qu'est un entier naturel ?

C'est suffisant pour définir qu'un entier naturel est éventuellement le symbole 0 (là pour le coup c'est tous les axiomes qui sont nécessaires pour la définition, c'est le but de AP).

Il ne faut pas "intuitivement" aller au-delà des axiomes ou de la définition qu'ils donnent de ces objets, sinon tu te forges de fausses croyances et c'est la porte ouverte à ne jamais rien comprendre. C'est le principe de l'abstraction et il faut s'y faire (ou on fait du jardinage, c'est un métier respectable, il y a même un forum dans Futura )

[Médiat]

Il ne faut pas "intuitivement" aller au-delà des axiomes ou de la définition qu'ils donnent de ces objets, sinon tu te forges de fausses croyances et c'est la porte ouverte à ne jamais rien comprendre.

C'est le but de ce fil

[Deedee81]

Je renonce aussi. Le dernier message d'Andretou montre qu'il n'a rien compris ni aux axiomes de Peano, ni à la logique, ni au but de cette discussion, ni même aux réponses.


EDIT modération (albanxiii) : j'ai supprimé le message dont parle Deedee81 dans ce message. Voir l'avertissement au message #37. Andretou, si vous lisez cela, la modération n'acceptera plus aucun de vos messages sur ce fil, vous êtes banni de cette discussion.

[Verdurin]

Bonsoir,
je me permets de répondre avec citation car le message est loin dans le fil.

Pour lancer la boule de neige :

A-t-on vraiment besoin du schémas d'axiomes de récurrence ?

En effet, soit une formule de AP (Arithmétique de Peano), qui vérifie :
1)
2)

Sans axiome de récurrence pour , on ne peut conclure, pourtant si , alors il existe au moins un élément tel que , et si on prend le plus petit avec cette propriété (avec des entiers, c'est possible), alors soit , ce qui est impossible cf. 1), soit il existe tel que (axiome de AP), or on doit avoir sinon ne serait pas le plus petit, mais alors 2) entrainerait , ce qui est contradictoire, donc pas de tel et donc est démontré (sans axiome de récurrence).

Une petite erreur, peut-être dans ce raisonnement ?

J'ai l'impression qu'il y a une erreur ( volontaire ) dans ce raisonnement : rien ne dit dans les axiomes de Peano qu'ils modélisent exactement l'ensemble N « usuel ».
En désignant par "N" un modèle des axiomes de Peano, il me semble même que la propriété « toute partie de "N" a un plus petit élément » est plus forte que l'axiome de récurrence.

En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises, j'espère que ce fil va reprendre malgré quelques interventions intempestives.

[Médiat]

D'abord, que les choses soient claires : ce que j'ai écrit aux messages 2, 4 et 6 est complètement faux, et la remarque de gg0 correcte ; néanmoins, j'ai pu lui opposer des arguments qui peuvent paraître acceptables (pour les gens persuadés d'avoir raison, ou de parfaite mauvaise foi, comme moi ici) mais qui ne le sont pas (c'était le but)

En fait toutes ces erreurs ont une source commune : quand on dit "Entier", de quoi parle-t-on ?

1) des entiers naïfs,
2) des éléments de IN, ou de , si on se plonge dans ZFC,
3) de n'importe quel élément de n'importe quel modèle de AP ?

Mes affirmations fausses viennent de ce qu'elles sont vraies pour le 2) alors que pour que la démonstration soit correcte il aurait fallu qu'elles soient vraies pour le 3) (et elles ne le sont pas).

Un moyen simple de voir qu'elles sont vraies pour le deux, est de considérer , qui est, par définition un bon ordre, et donc tout sous-ensemble non vide contient un plus petit élément.

[Médiat]

Bonjour,

J'ai l'impression qu'il y a une erreur ( volontaire ) dans ce raisonnement : rien ne dit dans les axiomes de Peano qu'ils modélisent exactement l'ensemble N « usuel ».
En désignant par "N" un modèle des axiomes de Peano, il me semble même que la propriété « toute partie de "N" a un plus petit élément » est plus forte que l'axiome de récurrence.

Vous avez répondu pendant que je rédigeais ma réponse, vous pourrez constater que vous avez parfaitement raison, y compris votre dernière remarque, puisque c'est ce que démontre vraiment, ma fausse (dans AP) démonstration

[Merlin95]

Oua faut jouer avec les différentes couches sémantiques au sens naturel compris. Mais c'est encore plus dur de faire les liens (graphe ferm é ?) entre elles.

[Verdurin]

Par « plus forte » je voulais dire que les axiomes de Peano ne permettent pas de démontrer que « toute partie de "N" a un plus petit élément ».
Du moins il me semble.
En fait j'ai l'impression lié à des cours de logique que j'ai largement oublié que les propositions du type

ne peuvent pas être démontrées dans l’arithmétique de Peano.

[Médiat]

Effectivement, ce n'est pas Peano qui le permet, c'est pourquoi j'ai pris l'exemple de (isomorphe à IN), car là le truc en plus, c'est ZFC

Par contre je ne comprends pas bien votre deuxième remarque, la formule que vous donnez est du 2nd ordre.

[Médiat]

Bonjour,

S'il y a d'autres questions concernant les points précédents, bien sûr j'y répondrai dans la mesure de mes connaissances, mais en attendant, allons un peu plus loin :

Un modèle (d'une théorie du 1er ordre) est une structure qui interprète le langage et vérifie les axiomes. Un modèle de AP est donc une structure dans laquelle on sait ce qu'est et et qui vérifie les axiomes.

Un modèle de AP doit donc contenir un élément qui interprète (écrire tout sous cette forme deviendrait vite très lourd, je dirais donc (avec un abus de langage peu toxique) "doit contenir "), il doit aussi contenir , .. et pour tout entier naïf, il doit contenir , ces éléments sont appelés les entiers standard.

1) Peut-il exister d'autres éléments ?
2) Doit-il exister d'autres éléments ?
3) Quelle formule du premier ordre peut-elle définir les entiers standard

[Tryss2]

Je me lance :

Réponse à la 1 :

 Cliquez pour afficher

Oui : n'importe quel ensemble bien ordonné est un modèle de PA, en posant et .

En particulier, il existe des ensembles non-dénombrables qui sont bien ordonnés

Réponse à la 2 :

 Cliquez pour afficher

Non : les entiers standards sont tous de cette forme, et on peut en construire assez facilement un modèle en posant , et

(ici les n sont les entiers naïfs)

Réponse à la 3 :

 Cliquez pour afficher

Une telle formule n'existe pas, mais j'aurai du mal à le justifier rigoureusement. En résumé, il faudrait que la formule soit une disjonction dénombrable, ce qui n'est pas faisable en logique du premier ordre

[Médiat]

1) et 2) : rien à redire ou à ajouter (on aurait pu aussi en appeler à Löwenheim-Skolem)

3) vous avez raison, mais pour une mauvaise raison (et il existe une démonstration simple)

A noter que les réponses 1) et 2) justifient le vocabulaire "entier standard /non standard" et "modèle standard /non standard"

Teaser : On est à deux doigts d'un résultat important (dont les répercussions s'étendent jusqu'à la conjecture de Goldbach)

[Merlin95]

Juste pour revenir sur cela pour bien comprendre.

Non, je veux juste dire que faire des mathématiques, c'est démontrer des formules

Est-ce que cette formalisation en passant par les formules permet par exemple de justifier que 'sum for k from 1 to n of k = n(n+1)/2' ?

Pour justifier l'intérêt de cette formule en l'honneur du fait que ces deux formules sont exploitables ("possibles syntaxiquement") en logique (du premier ordre par exemple).

[Médiat]

Pour justifier l'intérêt de cette formule en l'honneur du fait que ces deux formules sont exploitables ("possibles syntaxiquement") en logique (du premier ordre par exemple).

Je n'ai rien compris à cette phrase

[Merlin95]

Ok pourriez vous m'indiquer s'il vous plaît comment s'exprime formellement l'expression 'sum for k from 1 to n of k' (si ce n'est pas déjà le cas, c'est-à-dire s'il ny a pas de sucre syntaxique dans cette expression) ?

Je vais ensuite essayer de raccrocher les idées dans ma tête pour que ça soit plus claires.

[Médiat]

Par rapport au message #44, votre n est de quel type ?

[Merlin95]

N est comme p c'est a dire un élément de IN, "Modèle standard de Peano" en esperant ne pas dire une petite bêtise ici.

[Médiat]

Personnellement, je ne vois pas d'autre solution, que d'utiliser la fonction de Gödel, mais j'ai peur que la réponse ne soit compréhensible qu'à ceux qui n'ont pas besoin de la réponse.

[Merlin95]

Si vous ne voyez pas c'est qu'il n'y a pas d'autres solutions en tout cas dans le cadre de ce dont je parle alors vous avez raison certainement, ça répond à ma question.

[Merlin95]

Et vous avez raison que je ne connaisse pas cette fonction en tout cas sans rechercher et comme réponse, montre une certaine incompétence de ma part. Je dis pas ça ironiquement ou quoi c'est juste exact de mon point de vue.

Mais ça serait dommage sur le principe de ne pas donner d'explications pour ceux qui suiveraient un peu (peut-être ?). Si c'est pas hors sujet svp bien sûr.

[Merlin95]

J'ai regardé ça mérite en effet un sujet entier.