Arithmétique de Peano du premier ordre

[Médiat]

Il existe peut-être des solutions simples que je ne vois pas.
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[Liet Kynes]

Il existe peut-être des solutions simples que je ne vois pas.

Bonjour,

Une questions bête:

Quelqu'un s'est-il déjà "amusé" à traduire ces raisonnement en langage litéraire, c'est à dire en n'utilisant aucun symboles et en n'utilisant que des mots eux même définis par des mots?
Si cela conduit à un echec qu'elle phrase serait utilisée pour le décrire?

[Liet Kynes]

Bonjour,

Une questions bête:

Quelqu'un s'est-il déjà "amusé" à traduire ces raisonnement en langage litéraire, c'est à dire en n'utilisant aucun symboles et en n'utilisant que des mots eux même définis par des mots?
Si cela conduit à un echec qu'elle phrase serait utilisée pour le décrire?

Edit: deux en fait

[Médiat]

Vous demandez "est-ce que quelqu'un a déjà fait mal(*), ce qu'on sait faire bien (*) ?"

(*) de façon ambiguë ou non

[Deedee81]

Salut,

En plus à supposer que ce soit possible en langage littéraire (sous-entendu compréhensible par le pékin du coin, pas bêtement en remplaçant mot-à-mot chaque symbole par un mot, ça c'est inutile), les explications/formulations/démonstrations seraient beaucoup plus longues. Amha ça n'aiderait pas à simplifier la réponse à la question. Ce matin (oui, oui, je suis matinal) je me suis amusé à regarder de plus près la démonstration de 1+1=2 des Principia (étant entendu que le +1 n'est pas ici la fonction successeur, sinon ça devient trivial). C'est assez simple mais terriblement long : mais le faire comprendre en langage naturel n'aide pas, c'est soit encore plus long soit court mais il est alors très difficile de vraiment faire comprendre et en particulier faire comprendre pourquoi c'est si long !!! Du moins de manière rigoureuse (c'est le danger du littéraire, on a tendance à dériver dans l'implicite et l'intuitif qui est un vrai poison ici. J'ai trop souvent vu des "ah oui j'ai compris" issu d'explications vulgarisées alors qu'en fait non le gars n'a pas du tout compris, et ce soucis touche tous les domaines scientifiques mais particulièrement ceux nécessitant une formalisation rigoureuse comme ici. Ca peut arriver et ça m'est arrivé même avec des explications techniques, alors avec du littéraire !!!!).

Comme vous l'aurez constaté j'interviens assez peu, car je ne maîtrise pas assez (en tout cas pour intervenir rapidement sans devoir faire fumer ma cervelle ), mais je suis de près car c'est passionnant

[Médiat]

(en tout cas pour intervenir rapidement sans devoir faire fumer ma cervelle )

Dommage, c'est le but , l'idée de fond est de montrer que certaines idées intuitives peuvent être complètement fausses (cf. les messages 2, 4 et 6)

[Deedee81]

Dommage, c'est le but

Juste le manque de temps. Hélas.

l'idée de fond est de montrer que certaines idées intuitives peuvent être complètement fausses (cf. les messages 2, 4 et 6)

Ca, ça va, c'est d'ailleurs pour cela que je ne me précipite pas pour répondre.... sans réfléchir suffisamment.
(je fais déjà assez d'erreurs comme ça )

[Superbenji]

Bonjour,
Je crains de mal lire ou comprendre la réponse au 1) de Tryss2, parce t-elle que je la lis je ne vois pas comment un ensemble bien ordonné quelconque peut être un modèle de PA ?

[Deedee81]

Je crains de mal lire ou comprendre la réponse au 1) de Tryss2, parce t-elle que je la lis je ne vois pas comment un ensemble bien ordonné quelconque peut être un modèle de PA ?

Hé bien comme il l'indique, tout ensemble bien ordonné obéit au axiomes de PA. (je viens de déroger à ma règle, j'espère ne pas avoir dit de bêtise)

[Médiat]

Salut,

Je crains de mal lire ou comprendre la réponse au 1) de Tryss2, parce t-elle que je la lis je ne vois pas comment un ensemble bien ordonné quelconque peut être un modèle de PA ?

C'est une bonne remarque.

Réponse 1 :

 Cliquez pour afficher

Löwenheim-Skolem assure l'existence de modèles non dénombrables, alors que les standards sont dénombrables

Réponse 2 :

 Cliquez pour afficher

Soit la formule indexée par les entiers standard.
Soit la théorie , qui est isoconsistante avec AP (par compacité) et qui contient un élément plus grand que tous les éléments standard

[Médiat]

Hé bien comme il l'indique, tout ensemble bien ordonné obéit au axiomes de PA. (je viens de déroger à ma règle, j'espère ne pas avoir dit de bêtise)

C'est bien, c'est comme cela qu'on avance

Cela ne marche pas par exemple dans , 0 n'est pas successeur, mais non plus

Cette bêtise n'est pas grave (d'ailleurs j'ai répondu trop vite) et c'est en les exprimant qu'on peut les corriger

[Deedee81]

Médiat,

Juste une question : est-ce que tu peux définir "iso-consistant" ? Car j'ai du mal à comprendre (et une recherche google m'a renvoyé vers ... un autre message Futura où tu l'employais")

[Deedee81]

Cela ne marche pas par exemple dans , 0 n'est pas successeur, mais non plus

D'accord, je me doutais que ça allait un peu au-delà de ce que je disais. Merci pour l'explication.

[Médiat]

On dit aussi co-consistant, deux théories sont isoconsistantes si elles sont toutes les deux consistantes ou toutes les deux inconsistantes, comme pour AP, on ne sait pas, je ne peux pas dire que la nouvelle théorie l'est, mais elle l'est si AP l'est.

Même situation avec ZF + AC, ou ZFC + HC

[Médiat]

Je viens de relire ma réponse 70

C'est une bonne remarque.

et je crois qu'elle peut être mal comprise

Les solutions sous spoiler ne sont pas des justification de la réponse de Tryss, mais des réponses qui fonctionnent

[Superbenji]

Aaaah, ça me rassure.

 Cliquez pour afficher

En effet, ça ne marche qu'avec , qui est évidemment l'ordre du modèle standard des entiers.
Les modèles non-standard de PA ont un ordre de la forme , où est l'ordre usuel des entiers naturel, l'ordre des entiers relatifs, et un ordre dense. Autrement dit, un modèle non-standard commence avec une copie de , suivie de copies de ordonnées entre elles selon un ordre dense.
Par exemple, dans le cas des modèles dénombrables de PA, est l'ordre des nombres rationnels. Mais tout ordre dense ne fonctionne pas: L'ordre des nombres réels ne peut pas être utilisé pour .

[Deedee81]

On dit aussi co-consistant, deux théories sont isoconsistantes si elles sont toutes les deux consistantes ou toutes les deux inconsistantes, comme pour AP, on ne sait pas, je ne peux pas dire que la nouvelle théorie l'est, mais elle l'est si AP l'est.

D'accord, j'ai compris. Merci

Mais ça non :

Mais tout ordre dense ne fonctionne pas: L'ordre des nombres réels ne peut pas être utilisé pour .

Pourquoi ? (évidemment il ne me serait pas venu à l'idée que les réels pouvaient être un modèle de AP, mais je ne comprend pas pourquoi certains ordres denses marchent et pas d'autres)
(et, peut -être une question idiote mais ..... et en ajoutant l'axiome du choix ?)

[Médiat]

évidemment il ne me serait pas venu à l'idée que les réels pouvaient être un modèle de AP

Attention, dans l'expression de Superbenji, n'es pas le modèle, mais l'ensemble des indices.

Question sournoise : comme il n'y a qu'un seul ordre total, dense sans extremums (dense tout seul ne suffit pas) dénombrables, à savoir , est-ce que cela veut dire que le seul modèle non-standard dénombrable est (la réponse est incluse dans le message de Superbenji (qui est donc dispensé de répondre)

[Deedee81]

dense sans extremums (dense tout seul ne suffit pas) dénombrables

D'accord et ça répond à mes questions (les deux), je pensais au bon ordre mais c'est insuffisant. Ca a fait tilt. Merci,
EDIT c'est vraiment pas simple tout ça !!!!

[Médiat]

Attention, "dénombrable" n'est requis que pour les modèles dénombrables.

[Superbenji]

ordre total, dense sans extremums (dense tout seul ne suffit pas)

Parfaitement, c'est bien ce que je voulais dire, j'aurais dû le préciser.

Pourquoi ? (évidemment il ne me serait pas venu à l'idée que les réels pouvaient être un modèle de AP, mais je ne comprend pas pourquoi certains ordres denses marchent et pas d'autres)
(et, peut -être une question idiote mais ..... et en ajoutant l'axiome du choix ?)

Arg, j'ai une idée de pourquoi, mais je ne saurais pas le démontrer ou l'expliquer très bien.

[Médiat]

Arg, j'ai une idée de pourquoi.

Je veux bien connaître cette idée, IR étant un ordre total, dense, sans extremums, je ne vois pas pourquoi cela ne marche pas

[Deedee81]

Je vais suivre ça avec attention car j'avais mal compris (je disais bien que ce n'est pas simple)

[Superbenji]

Je suis en train de réfléchir à comment le démontrer.
Mais pour donner un indice aux autres, quelle propriété diffère l'ordre de de celui de , et qui pourrais être utilisée pour expliquer pourquoi ? En dehors de la cardinalité bien sûr, qui n'est aucunement le problème.

[Deedee81]

Mais pour donner un indice aux autres, quelle propriété diffère l'ordre de de celui de , et qui pourrais être utilisée pour expliquer pourquoi ? En dehors de la cardinalité bien sûr, qui n'est aucunement le problème.

On ne peut expliciter le bon ordre du R sinon je ne vois pas !!!!

[Médiat]

On ne peut expliciter le bon ordre du R sinon je ne vois pas !!!!

Pas besoin de bon ordre sur les indices (à ma connaissance), ni sur les Z (et pour cause)

[Deedee81]

D'accord, alors je sèche. Merci. Je vais attendre la réponse, je mourrai moins bête

[Médiat]

Comme déjà dit, je tenterai de répondre à toutes les questions, mais pour avancer un peu je vous propose de compter les classes d'isomorphisme des modèles dénombrables de AP, posé comme cela c'est un peu compliqué, alors on va y aller doucement, et pour commencer on va trouver un majorant : le nombre de Structures interprétant une fonction unaire (comme s) et deux fonctions binaires (+ et x) et une constante (0), sur un ensemble dénombrable donné (quelconque).
Deux telles structures peuvent être isomorphes, mais on s'en fiche puisqu'on cherche un majorant.


Cette question ne nécessite aucune connaissance particulière en logique.

[Tryss2]

Cela ne marche pas par exemple dans , 0 n'est pas successeur, mais non plus

Quel axiome de PA demande que tout élément soit le successeur d'un autre?

Par contre, clairement, j'avais oublié le cas ou l'ensemble en question a un plus grand élément (qui n'a donc pas de successeur)

[Médiat]

Axiomes de Peano — Wikipédia (wikipedia.org) l'axiome 2