Arithmétique de Peano du premier ordre

[Médiat]

Bonjour gg0

contient toutes les formules un modèle doit donc les vérifier toutes, hors n'importe quel ne vérifie pas
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[Superbenji]

Bonjour,
Je ne comprends pas non plus, j'ai la même lecture que gg0, pour chaque le successeur en est un exemple.
Ne serait t-il pas mieux d'ajouter une nouvelle constante au langage et les pour chaque standard deviendraient: ?

[gg0]

Désolé, Médiat, je viens de relire ta définition de elle parle seulement de l'existence d'un . Et là tu parles d'un cas particulier. Le fait que soit faux n'empêche pas qu'il existe un supérieur à : .

[Médiat]

Ne serait t-il pas mieux d'ajouter une nouvelle constante au langage et les pour chaque standard deviendraient: ?

Si c'est une bien meilleure solution (je suis allé trop vite, confusion avec la notion de type, que je ne voulais pas évoquer)

[Médiat]

J'ai eu beau réfléchir, je ne vois pas de moyen de me passer de la notion de type (de 1-type en particulier), dans l'exemple précédent ont pourrait, mais pour la suite ce serait plus délicat.

Ce qui m'énerve, c'et que je suis tombé dans le défaut que je reproche le plus aux vulgarisations : tellement simplifier qu'on finit par écrire quelque chose de faux, gg0 avait raison et la correction de Superbenji parfaite, alors que j'avais continuer à traiter cet ensemble comme un type (en particulier dans mes réponses à gg0) alors que ce n'en est pas un, mais je vais néanmoins parler de type (simplifié) pour la suite.

Un 1-type est un ensemble (infini, sinon c'est pas intéressant) de formules à une variable libre, x, dont chaque partie finie est satisfiable (il existe un modèle dans lequel il y a un élément qui en satisfait toutes les formules), alors il existe un modèle qui la satisfait (ceci se démontre en ajoutant un symbole de constante au langage et en remplaçant x par cette constante)

Pour tout entier standard on note la formule : , et le type , est satisfiable donc il y a un modèle qui le réalise et cela ne peut être IN, qui devrait contenir un élément strictement plus grand que chacun de ses éléments

[gg0]

Là, je ne suis plus. Ça ressemble à un "truc" pour passer subrepticement de quel que soit n il existe x à il existe x tel que quel que soit n.

Désolé !

[Médiat]

Là, je ne suis plus. Ça ressemble à un "truc" pour passer subrepticement de quel que soit n il existe x à il existe x tel que quel que soit n.
,
Désolé !

Oui, mais c'est un truc qui marche, pour reprendre le même exemple, on ajoute un symbole de constante au langage : , on ajoute à AP les axiomes
définis par , il est clair que toutes parties finies est satisfaites par IN, donc il existe un modèle qui vérifie tous les axiomes. Cette technique marche pour tous les 1-types

[gg0]

OK.

Mais tu as changé les axiomes . Donc on n'est plus dans le cadre de ton message #119, on est d'accord ?

[Médiat]

Ben oui, le message 125 reprends tout

[Superbenji]

Je reviens sur cette question précédente:

Je suis en train de réfléchir à comment le démontrer.
Mais pour donner un indice aux autres, quelle propriété diffère l'ordre de de celui de , et qui pourrais être utilisée pour expliquer pourquoi ? En dehors de la cardinalité bien sûr, qui n'est aucunement le problème.

Pourquoi un modèle non-standard de PA ne peut pas être de la forme ?
On ne peut utiliser , car celui-ci vérifie la propriété de la borne supérieure, c'est à dire que pour toute partie non vide et majorée de existe une borne supérieure.

Bon, je me lance.
Supposons que soit un modèle non-standard de PA de la forme , et soit un entier non-standard de .
En utilisant l'exponentiation, construisons le segment initial de , dont les éléments sont tout les entiers de inférieurs à un des , avec parcourant les entiers standards.

On peut faire trois observations:
1) est un segment initial propre, par exemple il ne contient pas , par construction.
2) est clos pour la multiplication, c'est à dire que si et sont deux éléments de , alors en est un aussi. C'est facile à voir, prenons et , et deux entiers standards, alors on a appartenant donc à .
3) Maintenant, puisque on a 1), et par la propriété de la borne supérieure de , il existe un (de l'ordre de ) qui borne supérieurement , appelons le .

Soit un entier pair de . Où est ? Il ne peut pas être dans , puisque est évidemment à une distance non-standard de . Il ne peut pas être dans , puisque on a 2). Et enfin, il n'y a rien entre et , puisque on a 3).
Aucun élément n'est possible pour . On voit donc qu'en utilisant l'ordre des nombres réels, la multiplication ne peut pas fonctionner.

[Médiat]

Joli !

Il y a 3 points qui me semblent nécessiter quelques explications :

1) Définition de l'exponentiation
2) Justifier que
3) Justifier que n'est pas sur la même fibre que

[Superbenji]

Oui c'est vrai, ces points manquent, mais mes neurones ont assez surchauffés pour l'instant.

[Superbenji]

Bonjour,
Dans le raisonnement je m'étais basé sur l'exponentiation, parce que très bêtement je pensais à .
Mais on peut faire la même chose en remplaçant l'exponentiation par la multiplication pour construire le segment initial, montrer qu'il est propre, clos pour l'addition, et tout le reste. Plus besoin d'exponentiation qu'il faudrait définir.

[Médiat]

Bonjour,

Plus besoin d'exponentiation qu'il faudrait définir.

La définir est facile, c'est le point 2 de mon message #131 qui ne me paraît pas trivial

[Médiat]

Bonjour,

Je reprends la démonstration de Superbenji :


Supposons que soit un modèle non-standard de PA de la forme , et soit un entier non-standard de .
En utilisant la multiplication, construisons le segment initial de , dont les éléments sont tout les entiers de inférieurs à un des , avec parcourant les entiers standards.

On peut faire trois observations:
1) est un segment initial propre, par exemple il ne contient pas , par construction. En effet donc , ceci est trivial à partir de la définition de
2) est clos pour l'addition, c'est à dire que si et sont deux éléments de , alors en est un aussi. C'est facile à voir, prenons et , et deux entiers standards, alors on a appartenant donc à .
3) Maintenant, puisque on a 1), et par la propriété de la borne supérieure de , il existe un (de l'ordre de ) qui borne supérieurement , appelons le .

Soit un entier pair de . Où est ? Il ne peut pas être dans , puisque est évidemment à une distance non-standard de (*). Il ne peut pas être dans , puisque on a 2). Et enfin, il n'y a rien entre et , puisque on a 3).

Aucun élément n'est possible pour . On voit donc qu'en utilisant l'ordre des nombres réels, la multiplication ne peut pas fonctionner.

, donc il ne peut exister un élément de tel que

Je n'ai fait qu'écrire les idées de Superbenji

[Médiat]

Bonjour,

Sinon, pour reprendre le fil de ce fil, pour trouver un minorant au nombre de modèles, on peut, par exemple, exhiber des formules, ou des ensembles de formules (des 1-types) satisfiables dans AP (compatible avec AP), ce qui peut se montrer facilement si toute partie finie de chacun de ces ensembles de formules est vérifié dans IN (ce n'est pas obligatoire, mais c'est un moyen simple).

Si quelqu'un a des idées ...

[Merlin95]

il y a un modèle qui le réalise et cela ne peut être IN, qui devrait contenir un élément strictement plus grand que chacun de ses éléments

Ok je suis en train d'assimiler mais ce point en citation ne m'est pas évident pourriez vous donner des détails ?

[Médiat]

Un élément qui réalise ce type, c'est à dire qui vérifie toutes les formules x > n, pour tous les n dans IN, doit être plus grand que tous les n dans IN, il ne peut donc pas être dans IN

[Merlin95]

Un 1-type est un ensemble (infini, sinon c'est pas intéressant) de formules à une variable libre, x, dont chaque partie finie est satisfiable (il existe un modèle dans lequel il y a un élément qui en satisfait toutes les formules)

Ok merci c'était évident en fait.

Par contre il ne satisfait pas tous les autres axiomes vu qu'il n'existe de modèles finis de PA, non ?

[Médiat]

Ben, si, pourquoi voulez-vous qu'il soit fini ?

[Merlin95]

Ha ok, je n'avais pas compris que c'était le 1-type qui le modèle.

[Médiat]

Les axiomes de Peano "définissent", tous les modèles, le 1-type force l'existence de modèles avec un ou des éléments avec des propriétés qui ne sont pas conséquences des axiomes (mais pas contradictoires avec eux)

[Merlin95]

ceci se démontre en ajoutant un symbole de constante au langage et en remplaçant x par cette constante

Ok mais je ne vois pas quelle est la démonstration en question.

[Médiat]

Soit un nouveau symbole de constante.

Soit la formule

Toute partie finie de est consistant puisque IN la vérifie (n'importe quel entier plus grand que ceux qui apparaissent dans la partie finie, vérifie cette partie finie).

[Merlin95]

Ok désolé d'avance car je ne comprends pas mais je ne vois pas où. Quand vous dîtes ça :

il existe un modèle dans lequel il y a un élément qui en satisfait toutes les formules

Ce modèle n'est pas fini ? Donc il ne satisfait pas Peano non ?

Encore désolé jai l'impression d'être un peu lourd.

[Médiat]

C'est un modèle de Peano (donc infini) avec une propriété en plus (en plus de ce qu'impose Peano)

[Merlin95]

Ok on peut dire aussi "chaque formule" n'est ce pas ?

il existe un modèle dans lequel il y a un élément qui en satisfait toutes les formules

[Médiat]

Non, Toutes les formules.

Avoir un élément qui vérifie toutes les formules ce n'est pas la même chose que dire que chaque formule a un élément qui la vérifie.

[Merlin95]

Non je dis qu'on a un élément qui vérifie chaque formule. Non mais vous avez raison j'avais en tête chaque formule à un élément. donc ok merci

[Merlin95]

Toute partie finie de est consistant puisque IN la vérifie (n'importe quel entier plus grand que ceux qui apparaissent dans la partie finie, vérifie cette partie finie).

Que veut dire "la vérifie", parceque :

"n'importe quel entier plus grand que ceux qui apparaissent dans la partie finie"

Donc ces entiers ne sont pas dans la partie finie donc. Donc la partie finie ne "vérifie" (dans le sens intuitif où je le comprends) pas ...


Et accéssoirement "consistant" signifie non contradictoire ?