Conseils pour débutants/ témoignages.

[DidierGustin]

Bonjour,

J'ai commencé il y a quelques jours à feuilleter "Logique Mathématique" de Stephen C. Kleene.
J'ai suivi une formation universitaire en chimie.
Je suis clairement mauvais en mathématique et je suis absolument désemparé par la lecture du livre mentionné ci-dessus. Via mes études, j'ai surtout fait de l'analyse et un brin de théorie des groupes. Le domaine de la logique m'a toujours interpellé, je me souviens de mes premiers cours de mathématiques à l'université, de courts problèmes parfois bien casse-têtes.
Ca fait quelque chose comme 4-5h que je bloque sur un des premiers exercices du bouquin et je me dis que ça va pas aller, je sais pas du tout comment m'y prendre.

J'aurais aimé avoir des conseils sur les manières qu'on peut avoir d'aborder la dite "logique"... Comment l'avez-vous travaillée ? Quelle est votre histoire avec la logique ? Est-ce que vous avez des conseils ? Est-ce qu'on peut seulement en donner ?

Je ne connais malheureusement pas de mathématiciens qui pourraient me guider un peu, donc je me tourne vers internet dans l'espoir d'y attraper un petit quelque chose, comme l'ébauche d'une marche à suivre, d'une méthode ! Et des témoignages, c'est toujours bon à prendre.

Peut-être existe-t-il des lectures plus adaptées pour les cancres de mon espèce ?

D'avance, merci pour vos réponses.
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[Médiat]

Personnellement, je suis tombé sur la logique par hasard en L3, car c'était la seule uv avec des horaires compatibles avec mon travail, et j'ai eu la chance de tomber sur un génie : Krivine et depuis je n'ai pas arrêté.

Pour vous rassurer, en M2, j'ai vu débarquer un gars qui, d'après lui, ne savais pas ce qu'est un sinus : il était en M2 de philo et voulait voir ce que les mathématiciens faisaient de la logique, il est resté toute l'année, il a passé et réussi tous les examens (il n'a pas pu valider son DEA, puisqu'il n'avait pas de maîtrise de mathématique).

[MissJenny]

Ca fait quelque chose comme 4-5h que je bloque sur un des premiers exercices du bouquin et je me dis que ça va pas aller, je sais pas du tout comment m'y prendre.

c'est quoi cet exercice? J'avais lu ce livre alors que j'étudiais tout autre chose. Je ne me souviens pas d'en avoir bavé mais je suppose que j'avais négligé les exercices...

[DidierGustin]

Personnellement, je suis tombé sur la logique par hasard en L3, car c'était la seule uv avec des horaires compatibles avec mon travail, et j'ai eu la chance de tomber sur un génie : Krivine et depuis je n'ai pas arrêté.

Pour vous rassurer, en M2, j'ai vu débarquer un gars qui, d'après lui, ne savais pas ce qu'est un sinus : il était en M2 de philo et voulait voir ce que les mathématiciens faisaient de la logique, il est resté toute l'année, il a passé et réussi tous les examens (il n'a pas pu valider son DEA, puisqu'il n'avait pas de maîtrise de mathématique).

D'accord, merci Médiat, c'est noté. Ca me redonne un peu d'espoir ! Je vais continuer avec Kleene et dès que j'en ai l'occasion je regarderai Krivine.

c'est quoi cet exercice? J'avais lu ce livre alors que j'étudiais tout autre chose. Je ne me souviens pas d'en avoir bavé mais je suppose que j'avais négligé les exercices...

J'ai pas eu le temps de m'y recoller depuis mon dernier message mais c'était ça :

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

je ne peux pas t'aider. J'ai complètement oublié la signification de ces symboles bizarres. Je peux la deviner pour certains mais le "pi" renversé est mystérieux. Je me demande à quoi sert de s'instruire dans les livres s'il n'en reste rien... cela dit c'était il y a presque cinquante ans.

[Médiat]

J'ai un problème plus grave, par exemple, je crois que je peux démontrer sans trop de difficulté que ( désigne l'arithmétique de Peano du premier ordre) :

et pourtant ne contient pas de négation

[ThM55]

Dans l'exercice mentionné, je crois que le "pi renversé" veut dire qu'il s'agit d'une tautologie. Une tautologie est une formule qui donne VRAI pour toute assignation des variables. Si vous écrivez la table de vérité avec des F et des V, vous n'obtenez que des V dans la colonne de la formule.

Le 5a dit que est une tautologie. C'est bien le cas, car c'est équivalent à . Si A est faux, sa négation est vraie et le premier ou est vrai, donc la formule est vraie. Si A est vrai, sa négation n'influence pas le résultat entre parenthèse, et comme c'est un OU, c'est vrai quelle que soit la valeur de B.

L'exercice est juste une simple substitution:

1)
2) équivalent car on a simplement remplacé A par sa négation, ce qu'on peut toujours évidemment faire dans une tautologie
3) du fait de l'équivalence signalée dans l'énoncé.

[ThM55]

Pour l'autre exercice, afin d'éviter l'écueil signalé par Mediat, je pense qu'il faut se limiter au langage du calcul des propositions. Il faudrait avoir l'énoncé complet pour en être certain, mais sans cela je ne vois pas comment on peut s'en sortir.

Or, si est une tautologie, il faut que B soit toujours faux, quelle que soit sa formule , où les sont des variables de base du langage et B une expression bien formée syntaxiquement (elle lie les variables avec les connecteurs usuels). Mais il y a un théorème qui dit que toute formule peut s'écrire sous forme équivalente au moyen de deux connecteurs dont l'un est la négation. Par exemple toute formule peut s'écrire avec la paire de connecteurs et .

Mais une formule écrite sous cette forme canonique qui ne contiendrait que des (des OU), ne peut être toujours fausse car le OU est associatif et la formule où toutes les variables sont vraies ne peut être que résulter en vrai. Au moins une des variables ou une des sous-propositions doit être soumise à une négation. Si on traduit cette formule dans une forme qui comporte des autres connecteurs (ET) ainsi que (implication), par exemple en utilisant la loi de Morgan, ou la formulation de l'implication, on ne peut pas se débarrasser de la négation. Sauf dans un cas: puisque (où C et D sont des formes dépendant des variables A_i) équivaut à , il semble qu'on puisse éliminer cette négation, mais dans ce cas on retombe sur le cas avec uniquement des OU, qui ne peut conduire à la négation d'une tautologie.

Je ne suis pas logicien, j'ai aussi eu des difficultés pour comprendre ce qu'est la logique, surtout dans un contexte mathématique (théorie des ensembles, je trouve toujours les fondements très mystérieux) et je n'utilise sans doute pas le "bon" vocabulaire. J'ai déjà demandé des conseils pour des ouvrages d'introduction dans un autre fil sur ce forum, voir les réponses.