Exos 1S - "Sur les tangentes"

[invite72ea9d3f]

Bonjour !

Voilà, je bloque d'une manière relative sur quelques exercices concernant tangentes et fonctions...

Le premier : Déterminer les réels a,b,c tq la parabole d'éq. y=ax² + bx + c passe par les pts A(3,0) et B(-5,0), et tq la tangente en A à la parabole ait pour coefficient -3.

J'ai du regarder les chapitres suivants dans le livre de cours, parce que nous n'en sommes qu'aux dérivées. Puis j'ai raisonné de la sorte : on sait que pour f(x) = u(x) + v(x) on a f'(x) = u'(x₀) + v'(x), or on a :
- u(x) = ax² -> u'(x) = 2xa (avec "xa"=x₀, suivant la régle de dérivabilité en un point des fonctions usuelles)
- et v(x) = bx +c -> v'(x₀) = b

Donc f'(x) = 2xa + b
Or lorsque x=3 avec A(3,0), on a 2xa + b = -3 (coeff de la tangente). On exprime b en fonction de a : b = -3-6a.
Ensuite, on résout le système d'éq. donné par les coordonnées des points A et B, et au final je trouve :

y(parabole) = - 0,375x² - 0,75x + 5,625

Pourriez-vous s'il vous plaît me dire si mon raisonnement est clair, et s'il est juste ?


Deuxième exo : Déterminer les réels a,b,c,d tq la courbe d'équation y = ax³ + bx² + cx + d passe par l'origine du repère (donc O(0,0)) et par le point A(1,1), et admette en ces deux points une tangente parallèle à l'axe des abcisses.

Mon problème avec celui-là, c'est que... je me retrouve avec un système d'éq. :
{ a+b+c+d = 1
{ 0+0+0+d = 0
ce qui entraîne d = 0

Le coeff directeur, soit f'(a) est bien égal à 0, puisque les deux tangentes sont parallèles à l'axe des abcisses ?

Je trouve également f'(x₀) = 3ax₀² + 2bx + c.

Mais ça ne me mène à rien ! Ou bien (comme ça m'arrive parfois), je ne pousse pas mon raisonnement assez loin et je bloque alors que ça devrait couler tout seul.

J'ai tatônné avec ma Texas (je ne fais pas de pub *sourire Colgate*) et trouvé quelque chose approchant de y = -1,5x³ + 2x² + 0,5x.

Si quelqu'un pouvait m'aider à fluidifier mes pensées...

Troisième exo : Trouver les points de la représentation graphique de la fonction f : x -> 5x² - 6x + 5 pour lesquels la tangente passe pas l'origine du repère.

Et alors là... Je ne sais pas comment m'y prendre ? Pouvez-vous m'aiguiller ?

On sait que l'équation de la tangente (que l'on va appeler y) est telle que pour 0, y = 0, mais sinon... La fatigue et l'abus d'alcool durant les fêtes ont nuis à mes neurones !
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[invite4b9cdbca]

Bon on va commencer par le commencement.
Pour le premier exercice, le raisonnement est bon, et la démo est tout à fait correcte et compréhensible.
Je ne sais plus quelles sont les éxigences, mais je crois bien que la dérivée des fonctions polyômes est considérée comme dérivées classiques. si tu as f(x) = 3x²+5x+1 tu peux écrire tout de suite :
f est une fonction polynôme donc dérivable etsa dérivée est f'(x) = 6x + 5
mais bon, comme je disais ton raisonnement est juste et tout à fait bon.
Pour lerésultat, j'ai pas vérifié, mais si tu n'as pas fait d'erreur de calcul, il n'y a pas de raison. Tu peux toujours verifier tes deux conditions avec la fonction trouvée.

Pour le second exercice c'est un problème classique de résolution de système d'équation.
Tu as 4 inconnues, a, b, c et d.
Il te faut donc 4 équations indépendantes pour résoudre ton problème, sinon tu risques d'avoir une multitude de solution.
Tu extrais donc tes 4 infos : deux tangentes (équations avec tes dérivées) et 2 points de passage
Voila tu as alors un gros système.
2 façon de résoudre :
1/une bête substitution
2/trouver une simplifiations en ajoutant/soustrayant les lignes entre elles.

ça devrait faire l'affaire.
Je repasserai plus tard pour le dernier.

[invite116650d7]

J'ai du regarder les chapitres suivants dans le livre de cours, parce que nous n'en sommes qu'aux dérivées. Puis j'ai raisonné de la sorte : on sait que pour f(x) = u(x) + v(x) on a f'(x) = u'(x0) + v'(x), or on a :
- u(x) = ax2 -> u'(x) = 2xa (avec "xa"=x0, suivant la régle de dérivabilité en un point des fonctions usuelles)
- et v(x) = bx +c -> v'(x0) = b

Es-tu obligé de passer par tout ça pour dériver un simple trinôme?

y(parabole) = - 0,375x2 - 0,75x + 5,625

Laisse les résultats sous forme fractionnaire. Ce n'est pas très joli comme ça.
Sinon le reste est bon.

Troisième exo : Trouver les points de la représentation graphique de la fonction f : x -> 5x2 - 6x + 5 pour lesquels la tangente passe pas l'origine du repère.

Et alors là... Je ne sais pas comment m'y prendre ? Pouvez-vous m'aiguiller ?

Il faut utiliser l'équation de la tangente,y= f'(a)(x-a)+f(a)
x est nul quand y est nul, donc, af'(a)=f(a).
Il suffit maintenant de résoudre. Les a trouvés sont les abscisses des points.
Une petite vérif graphique et c'est bon...

[invite72ea9d3f]

Merci beaucoup !

...Par contre, pour le troisième exo, je ne trouve qu'une solution pour a... c'est normal ? (Je m'attendais à plusieurs solutions... - Normal tu t'es trompée... - Tout s'explique...)

Et pour le deuxième, je referai les calculs demain, là je bloque sur la résolution du système, je reviens toujours au point de départ ou à c=c, a=a, b=b... ce qui est... stupide...

[A voir en vidéo sur Futura]