Bonjour pourriez vous m'aider s'il vous plaît?
J'ai fais un exercice en classe, j'ai la correction mais je ne comprends vraiment comment on trouve la réponse du 1).
Pourriez vous me l'expliquer?
Voici l'énoncé:
Un jardinier doit construire un parterre de fleurs ayant la forme d'un secteur circulaire de rayon x ( en mètres). Il dispose de 40 m de cloture pour l'entourer.
1-calculez l'aire f(x) de ce secteur
2-Déterminez x pour que l'aire de ce secteur soit maximale.
3-Déterminez la valeur de l'angle correspondant.
1) La longueur de l' arc est 40-2x.
L' aire d' un secteur angulaire est proportionnelle à la longueur de l' arc.
L' aire d' un disque de rayon x est pi x²; c' est un secteur angulaire particulier dont la longueur de l' arc est 2 pi x.
Pour traduire la proportionnalité, on écrit
A/(40-2x)=(pi x²)/(2 pi x) A étant l'aire du secteur.
donc A=(pi x²(40-2x))/(2 pi x)=(40 pi x²-2x^3)/ (2 pi x)
on simplifie donc A=20x-x².
Donc 1) f(x)=20x-x².
f(x) est nécessairement positif (une aire).
2) x appartient à [0;20].
f'(x)=-2x+20.
On résout cette équation x=10.
Tableau de variation
f croissante sur [0;10] et décroissante sur [10;20].
f admet un maximum pour x=10.
Il correspond à l'aire maximale du secteur f(10)=100.
Merci d'avance.
-----
