Entraînement aux Olympiades
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Entraînement aux Olympiades



  1. #1
    invitec418c418

    Entraînement aux Olympiades


    ------

    Bonjour,

    J'aimeriez avoir une correction pour ces exercices, je vous en serais très reconnaissant

    Exerice 1 :

    Trouver tous les entiers naturels n et k tels que :

    (k+1)(2n+k)=154.

    En déduire tous les entiers naturels n et k tels que :

    n+(n+1)+...+(n+k)=77

    a) 154 = 2 * 7 * 11 = 2 * 77 = 11 * 14 = 22 * 7 = 1 * 154

    On a alors les systèmes suivants :

    {k + 1 = 2
    {2n + k = 77

    {k + 1 = 11
    {2n + k = 14

    {k + 1 = 7
    {2n + k = 22

    {k + 1 = 1
    {2n + 1 = 154

    Qui nous donnent respectivement les couples (n ; k) = (38;1), (2;10), (8;6) (77;0)
    b) n+(n+1)+...+(n+k)=77

    Posons n + n + n + ... n (k fois) = n_1 + n_2 + ... n_k, on a alors :

    (n + n_1 + n_2 + .... n_k) + (1 + 2 + 3 + ...k) = 77 <=>(k + 1)n + k(k + 1)/2 = 77 <=> (k + 1) (n + k) = 154

    Les solutions sont alors : (n ; k) = (76;1), (4;10), (16;6), (154;0)

    Exercice 2

    Si x et y sont des entiers tels que(x-y)² + 2y² = 27

    Quelles sont les valeurs possibles pour x ?

    Vu que l'expression est une somme, pour une question de grandeur on a 2y² < 27, inégalité vérifiée pour y = {0 ; 1 ; 2 ; 3}. Testons ces valeurs :

    y = 0

    x² = 27 <=> x = +- V(27). Or x € N, donc cette valeur n'est pas solution

    y = 1

    (x - 1)² + 2 = 27 <=> (x - 1)² = 25 <=> x = +- 6. Or, x € N, donc seule la valeur 6 est admise.

    y = 2

    (x - 2)² - 8 = 27 <=> (x - 2)² = 19. 19 n'étant pas un carré parfait, l'équation n'admet aucune solution.

    y = 3

    (x - 3)² + 18 = 27 <=> x - 3 = 3 <=> x = +- 6


    Au final, seule x = 6 vérifie le problème posé.

    Exercice 3

    Pour quels entiers naturels n, le nombre N = n/(20 - n)est-il un carré parfait ?

    Pour que tout cela ait un sens, on a forcément n /= 20. De plus, pour que N soit un entier, il faut forcément que n >= 20 - n soit n >= 10. Un carré parfait est forcément positif, N l'est donc pour n < 20. Finalement, ces deux contraintes nous imposent n € [10 ; 20[. En testant les valeurs entières successives de cet intervalle, les seules valeurs retenues sont n = {10 ; 16 ; 18 }

    Désolé je dois m'absenter, je continurais les exercices ce soir.

    -----

  2. #2
    invitec418c418

    Re : Entraînement aux Olympiades

    Me revoilà ! Désolé pour l'énorme faute d'orthographe que j'ai faite "j'aimeriez ......"

    J'apporte une auto-correction au deuxième exercice, après réflexion, ma première contrainte n'était pas correcte car pour n = 4, N est un carré parfait. Dans ma tête je me suis focalisé sur des nombres entiers alors que des fractions peuvent l'être aussi

    Je continue avec mes exercices.

    Exercice 3

    Soit n un entier naturel non nul. Résoudre dans R² le système :

    {x + y = n
    {xy = n

    Le système admet-il des solutions dans N² ?


    Supposons x et y les racines d'un polynôme P du second degré. Soit a, b et c ses coefficients on a alors par définition :

    {x + y = -b/a
    {xy = c/a

    avec P(z) = ax² + bx + c

    Ce qui nous ramène à deux polynômes différents :

    P(z) = -nx² + n²x - n²

    Delta_n = n^4 + 4n^3

    Alors,

    x = [-n² - V(n^4 + 4n^3)] / (-2n)
    = [-n - V(n² + 4n)] / (-2)

    y = [-n² + V(n^4 + 4n^3)] / (-2n)
    = [-n + V(n² + 4n)] / (-2)

    ou P(z) = nx² - n²x + n²

    Delta'_n = n^4 - 4n^3

    x = [n - V(n² - 4n)] / 2

    y = [n + V(n² + 4n)] / 2

    Vu que l'on est dans R, x et y sont définis pour tout n/= 0 sous les couples (x ; y) = ( [-n - V(n² + 4n)] / (-2) ; [-n - V(n² + 4n)] / (-2)) ; ( [n - V(n² - 4n)] / 2 ; [n + V(n² + 4n)] / 2 )

    b) Le système se résout dans N² avec par exemple x = y = 2 et n = 4 (qui sont je crois les seules solutions possibles d'après mes calculs)

    Merci d'avance ^ ^

  3. #3
    invitec418c418

    Re : Entraînement aux Olympiades

    Désolé du monologue, mais j'ai réécrit mes exo avex Lyx pour plus de clarté (vu que la réédition n'est pas autorisée sur ce forum ). Je demanderais aux modérateur d'éffacer mes anciens messages (dont celui-çi) et de rééditer mon premier message en plaçant le fichier PDF joint à ce message à la place.

    Merci d'avance, et désolé du dérangement
    Images attachées Images attachées

  4. #4
    invitea7fcfc37

    Re : Entraînement aux Olympiades

    exo 2 (x,y) appartient à Z non ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitec418c418

    Re : Entraînement aux Olympiades

    Exact, j'ai oublié de traiter y = {- 1 ; - 2 ; -3}, merci de me l'avoir fait remarqué

  7. #6
    invitea7fcfc37

    Re : Entraînement aux Olympiades

    exo 3 pourquoi 4 est solution ?
    On peut ptet aussi mettre 0.

    exo 4 signe du delta

  8. #7
    invitec418c418

    Re : Entraînement aux Olympiades

    4 est solutition car 4/16 est un carré parfait : V(4/16) = 2/4 ou alors les carrés parfaits ne s'appliquent pas à des fractions même si leur racine carrée existe ?

    Pour 0 solution, je ne sais si quand on parle d'entier nautrel, 0 est admis, j'crois qu'il est admis quand on parle plutot d"entier" tout court, à vérifier.

    Hum, oui j'ai oublié de le préciser le signe de Delta pour le cas où on a n² + 4n

  9. #8
    invitec418c418

    Re : Entraînement aux Olympiades

    Après recherches sur Google, un carré parfait est bien le carré d'un entier naturel, donc 4 n'est pas solutione n effet, j'avais mal lu la définition d'un carré parfait ^ ^

  10. #9
    invitea7fcfc37

    Re : Entraînement aux Olympiades

    Citation Envoyé par Guillaume.B Voir le message
    4 est solutition car 4/16 est un carré parfait : V(4/16) = 2/4 ou alors les carrés parfaits ne s'appliquent pas à des fractions même si leur racine carrée existe ?
    Here : http://fr.wikipedia.org/wiki/Carr%C3%A9_parfait

    Pour 0 solution, je ne sais si quand on parle d'entier nautrel, 0 est admis, j'crois qu'il est admis quand on parle plutot d"entier" tout court, à vérifier.
    Se référer au même lien et au tableau des premiers carrés parfaits
    et puis : http://fr.wikipedia.org/wiki/Z%C3%A9ro

    Hum, oui j'ai oublié de le préciser le signe de Delta pour le cas où on a n² + 4n
    Je voulais dire erreur de signe, pardon d'avoir été trop rapide, recalcule ton premier Delta_n

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