Bonjour,
J'aimeriez avoir une correction pour ces exercices, je vous en serais très reconnaissant
Exerice 1 :
Trouver tous les entiers naturels n et k tels que :
(k+1)(2n+k)=154.
En déduire tous les entiers naturels n et k tels que :
n+(n+1)+...+(n+k)=77
a) 154 = 2 * 7 * 11 = 2 * 77 = 11 * 14 = 22 * 7 = 1 * 154
On a alors les systèmes suivants :
{k + 1 = 2
{2n + k = 77
{k + 1 = 11
{2n + k = 14
{k + 1 = 7
{2n + k = 22
{k + 1 = 1
{2n + 1 = 154
Qui nous donnent respectivement les couples (n ; k) = (38;1), (2;10), (8;6) (77;0)
b) n+(n+1)+...+(n+k)=77
Posons n + n + n + ... n (k fois) = n_1 + n_2 + ... n_k, on a alors :
(n + n_1 + n_2 + .... n_k) + (1 + 2 + 3 + ...k) = 77 <=>(k + 1)n + k(k + 1)/2 = 77 <=> (k + 1) (n + k) = 154
Les solutions sont alors : (n ; k) = (76;1), (4;10), (16;6), (154;0)
Exercice 2
Si x et y sont des entiers tels que(x-y)² + 2y² = 27
Quelles sont les valeurs possibles pour x ?
Vu que l'expression est une somme, pour une question de grandeur on a 2y² < 27, inégalité vérifiée pour y = {0 ; 1 ; 2 ; 3}. Testons ces valeurs :
y = 0
x² = 27 <=> x = +- V(27). Or x € N, donc cette valeur n'est pas solution
y = 1
(x - 1)² + 2 = 27 <=> (x - 1)² = 25 <=> x = +- 6. Or, x € N, donc seule la valeur 6 est admise.
y = 2
(x - 2)² - 8 = 27 <=> (x - 2)² = 19. 19 n'étant pas un carré parfait, l'équation n'admet aucune solution.
y = 3
(x - 3)² + 18 = 27 <=> x - 3 = 3 <=> x = +- 6
Au final, seule x = 6 vérifie le problème posé.
Exercice 3
Pour quels entiers naturels n, le nombre N = n/(20 - n)est-il un carré parfait ?
Pour que tout cela ait un sens, on a forcément n /= 20. De plus, pour que N soit un entier, il faut forcément que n >= 20 - n soit n >= 10. Un carré parfait est forcément positif, N l'est donc pour n < 20. Finalement, ces deux contraintes nous imposent n € [10 ; 20[. En testant les valeurs entières successives de cet intervalle, les seules valeurs retenues sont n = {10 ; 16 ; 18 }
Désolé je dois m'absenter, je continurais les exercices ce soir.
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). Je demanderais aux modérateur d'éffacer mes anciens messages (dont celui-çi) et de rééditer mon premier message en plaçant le fichier PDF joint à ce message à la place.
Envoyé par Guillaume.B 
