Ts exponenentielle

[invited2b60f53]

bonjour , j'ai du mal du mal à faire la resolution cmplete de ce petit probleme et je serai heureux de recevoir votre pour décanter la situation.
le probleme est le suivant:


montrer que si e^îa + e^ib +eîc = 0 alors
e^i2a + e^i2b + e^i2c = 0
j'ai vraiment assaiyer mais pas encore eu la sliution
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[invited2b60f53]

j'ai essayé pas encore la solution
je note que a,b et c sont des réels

[Gloubiscrapule]

J'ai essayé sans grand succès non plus...

Je sais que juste que ça marche pour a=0, b=2pi/3 et c=4pi/3...

Graphiquement on dirait qu'il faille que l'angle entre les 3 points soient égaux, c'està dire 2pi/3... Mais pas réussi à démontrer désolé!!

[Gwyddon]

Ça marche même si a,b,c sont complexes.

Une piste pour débuter : e^{i2a} = ? en fonction de e^{ib} et e^{ic} ?

Essaie de partir de l'égalité initiale, et manipule là un peu, fais joujou avec. Tu verras sûrement ce qu'il faut faire au bout d'un moment

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite62415c82]

Bonsoir,

e^{i2a}=(-e^{ib}-e^{ic})² ?
e^{i2a}=e^{2ib}+2e^{i(b+c)}+e^ {2ic} ?

Alors e^{i2a}+e^{i2b}+e^{i2c}= 2(e{2ib}+e^{i(b+c)}+e^{i2c}) ?

Si b+c=a alors la relation est vérifiée, mais comment savoir que a= b+c? (Je me suis probablement planté quelque part, mais je n'ai pas le courage de lire ce que j'ai écris... trop fatigué...)

Cordialement,

[Gwyddon]

C'est un début

Maintenant, quelle autre écriture possible a-t'on pour e^{i2a) ?

[manimal]

Bonjour à tous
J ai trouvé ça :

il vient :

Soit A=(b+c) , B=(a+c) et C=(a+b)
On a A+B+C=2a+2b+2c
Donc

Donc

C est un peu tiré par les cheveux !!
Qu en pensez-vous??
Cordialement
Manimal

[invite6d584275]

Bonjour,
Dans le cas où a, b, c sont réels, on peut faire de la façon suivante :
module(e^ia+e^ib)=1. Donc
(cos(a)+cos(b))²+(sin(a)+sin(b))²=1
En développant, on a
cos(a).cos(b)+sin(a).sin(b)=-1/2
d'où cos(a-b)=-1/2
a-b=2pi/3+2kpi ou a-b=-2pi/3+2kpi

De même, on a b-c=+/-2pi/3+2kpi

Géométriquement, cela signifie que les 3 exponentielles sont répartis en triangle équilatéral sur le cercle unité. On peut (quitte à permuter a,b,c entre eux) supposer que
b=a+2pi/3+2kpi et c=b+2pi/3+2kpi
Donc 2b=2a-2pi/3+2kpi et 2c=2b+2pi/3+2kpi
et donc e^i2a+e^i2b+e^i2c=0
CQFD

Dans le cas où a, b et c peuvent être complexes, j'aimerais aussi la solution !

[invite6d584275]

Ça marche même si a,b,c sont complexes.

Une piste pour débuter : e^{i2a} = ? en fonction de e^{ib} et e^{ic} ?

Essaie de partir de l'égalité initiale, et manipule là un peu, fais joujou avec. Tu verras sûrement ce qu'il faut faire au bout d'un moment

Bonjour Gwyddon,

Simple curiosité : Comment fais-tu si a, b, c sont complexes ???
Je ne vois pas où tu veux en venir avec ton indication !

Antoine.

[manimal]

Re bonjour à tous

Signifie
_ cos(a)+cos(b)+cos(c)=0
_ sin(a)+sin(b)+sin(c)=0
D autre part



Donc

CQFD
Cordialement
Manimal

[invite6d584275]

Re bonjour à tous

Signifie
_ cos(a)+cos(b)+cos(c)=0
_ sin(a)+sin(b)+sin(c)=0
D autre part



Donc

CQFD
Cordialement
Manimal

Oui, c'est plus élégant que ma méthode. Bravo.

[Gwyddon]

Bonjour Gwyddon,

Simple curiosité : Comment fais-tu si a, b, c sont complexes ???
Je ne vois pas où tu veux en venir avec ton indication !

Antoine.

En fait non j'ai dit n'importe quoi, ça ne marche pas pour les complexes avec ma démo (qui est celle de manimal en fait, où l'on fait joujou avec l'égalité)

[invited2b60f53]

bonjour ,je vous remercie vous tous dem'avoir secouri parce que j'ai resté longtemps à réflechir sans rien maisj'ai vu de vrai mathématiciens , moi je ne suis qu'un simple amateur