valeur des reél "dy et dx"

[hterrolle]

bonsoir,

voila je bute sur la "significatif" numerique de "dy et dx"

dy/dx = f'(x) donc pour f(x)=x² ou f'(x)=2x

dans si x=a=3 => dy/dx=f'(3)=2(3)=6 qui est la pente de la tangente pour le point x=3 et y=f(3)=9.

Se que je ne comprend pas c'est lorsque je prend dy=f'(3)dx

cela me donne donc dy=6dx.

Et la je ne comprends quelle utilité peuvent avoir dy et dx.

Donc la question est " a quoi sert dy et dx" et quelle sens leur donner.

Cette question peut paraitre desuette au premier abort mais le "signifiant" n'est pas tres clair pour moi.

En fait je carche a mettre des valeur reél sur dy et dx.

Merci d'avance pour votre aide.
-----

[invite88ef51f0]

Salut,
dx et dy ne sont pas des réels. Ce sont des notations. Il faut plutôt considérer que c'est l'opérateur "" appliqué à la fonction y, où "" n'est que la notation pour "dérivation par rapport à x".

[invitec053041c]

Oui comme ça a été dit, ce sont des notations symboliques qui n'ont pas de valeur définie.
Cette notation dite de Leibniz est pratique pour passer des dérivées aux intégrales.Mais vois-y juste une notation.
Comme pour la dérivée seconde, notée si on dérive deux fois par rapport à x.
Cordialement.

[invite9c9b9968]

Si on veut raffiner, on peut lui trouver un sens avec les formes différentielles, mais c'est un peu "beaucoup de bruit pour pas grand chose"

[A voir en vidéo sur Futura]

[hterrolle]

merci coincoin,

J'ai un petit example qui me semble montrer que les natation peuvent prendre des valeurs. Et c'est cettte hostoite de notation qui me pause un petit probleme de signification.

example :

On chauffe un disque en métal et son rayon croît à la vitesse de 1 mm par seconde. Calculer la vitesse à laquelle croît la surface S du disque si le rayon R = 10 cm ?

S = piR² => dS = 2piR dR => dS/dt = 2piR dR/dt = 2*3.14*10*0.1 = 3.26 cm² s^-1

Dans cette example dR prend bien une valeur. A savoir la vitesse auquel le rayon croit. et dt et bien egale a 1 seconde.

Comme je l'ai bien precisé dans mon premier mail. Cette histoire de notation me cause pas mal de soucis surtout lorsque j'en arrive au derivé partiel.

Je suis juste reparti de zero, donc de la devivation, pour comprendre comme distinguer "notation et valeur".

J'espere que l'explication de mon inconprehension a été correctement exposé.

Je sais que se ne doit pas être grand chose mais j'ai beaucoup de mal avec se concept de notation.

quellque example ne me farait pas de mal.

Merci d'avance.

[invitebe0cd90e]

non, DR/dt est la derive du rayon en fonction du temps, cad a dire la vitesse a laquelle varie le rayon. or on sait que cette vitesse vaut 1mm par seconde. la encore, il faut voir le "D/dt" comme un operateur qu'on applique a R.

[invite52c52005]

hterrolle,

c'est une différence connue entre la définition mathématique et l'utilisation qui peut en être faite parfois en physique (approximation). Ils en parlent un peu ici :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Diff%C3%A9rentielle

[invitebe0cd90e]

hterrolle,

c'est une différence connue entre la définition mathématique et l'utilisation qui peut en être faite parfois en physique (approximation). Ils en parlent un peu ici :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Diff%C3%A9rentielle

non, je ne suis pas d'acord, la...

[hterrolle]

Merci pour l'aide,


J'ai bien compris que "dx" est une notation. Se qui me semble quand etrange c'est que cette notation me semble pouvoir avoir plus sens.

pour reprendre mon example precedant.

"S" est la surface du disque, donc S= piR²

dS = 2piR dR

Puisque 2piR est egale a la circonference.Est ce que dS doit être considere comme l'integrale de la surface du disque ou est ce que dS est la difference par l'ajout de dR = 0.1mn ?
Je crois que c'est la que je m'enbrouille avec la notation.

Mais je continue afin que vous puissiez, peut être, comprendre la ou je bloque.

si dS peut être considere comme l'integrale, dS/dt se re-transforme en derivé. Ou l'on rajoute un nouveau parametre qui est le temps.

donc dS/dt = 2pi R dR/dt = 2*3.14*10*0.1

la encore si je fait la multiplication "2*3.14*10*0.1" j'obtient 6.28 qui est l'augmentation de la surface est non pas 3.28 cm/s qui est plutot une vitesse.

Donc je me dis que dR/dt doit avoir un sens au dela de la notation. Il fourni un travail, il effectue un calcul. A savoir obtenir la vitesse d'augmentation de la surface par unité de temps. Donc la notation doit representé plus qu'une definition symbolique. C'est Une action de calcul sur des valeur. C'est la ou je bloque a quel calcul cette notation fait reference.

Se que je comprens c'est que f'(x)dx donne l'aire due a la variation d'une difference infinisetimal tandis que f(x)dx donne l'aire pour la fonction x.

donc pour moi f(a)dx + f'(dx)dx donne l'aire total apres une augmentation infinitesimal de a.

Mais comment faire la reprochement entre l'aire et la vitesse ?

J'espere que toute cette prose permettre de me venir en aide sur se petit probleme de comprehension de la notation de "dx et dy".

merci d'avance. j'espere ne pas avoir été trop confus.

[invitebb921944]

Bonjour !

Puisque 2piR est egale a la circonference.Est ce que dS doit être considere comme l'integrale de la surface du disque ou est ce que dS est la difference par l'ajout de dR = 0.1mn ?
Je crois que c'est la que je m'enbrouille avec la notation.

On a S=2piR
Supposons qu'on veuille chercher la différence entre deux surfaces S1 et S2, on a :
S1=2piR1
S2=2piR2

S2-S1=2pi(R2-R1)

Donc delta(S)=2pi*delta(R) où delta(S) se lit (variation de Surface) et delta(R) se lit (variation de Rayon)
Pour une variation infinitésimale (c'est à dire infiniment petite), on transforme ce delta en :
dS=2pi*dR

dS n'est pas l'intégrale de la surface du disque, il faut le considérer comme une variation infiniment petite de la surface du disque.

Pour donner un exemple avec une fonction :

f'(x) est la pente de la fonction f au point x.
Comment on calcule une pente entre x1 et x2 ?
On dit que c'est la variation d'ordonnée sur la variation d'abscisse, c'est
à dire (x2>x1) : [f(x2)-f(x1)]/[x2-x1] = delta(f(x))/delta(x) = delta(y)/delta(x)

Et comme je te l'ai dit tout à l'heure, pour une variation infinitésimale, c'est à dire qu'on fait tendre x2 vers x1, alors on la note dy/dx qui vaut bien f'(x).

Je sais pas si ça a pu t'aider...

Se que je comprens c'est que f'(x)dx donne l'aire due a la variation d'une difference infinisetimal tandis que f(x)dx donne l'aire pour la fonction x.

donc pour moi f(a)dx + f'(dx)dx donne l'aire total apres une augmentation infinitesimal de a.

J'avoue que je comprends rien et qu'a mon avis, si tu comprends ça, c'est qu'il faut encore te pencher un peu sur le problème

[invitebb921944]

Une petite précision encore parce que tu sembles confondre un peu tout.
Pour calculer l'aire "en gros" d'une fonction, je dois calculer :

f(x[n-1])*(x[n]-x[n-1]) + f(x[n-2])*(x[n-1]-x[n-2]) + ... + f(x1)*(x2-x1)
= somme(f(x[i])*(x[i+1]-x[i])) pour i varie de 1 à n-1.

On voit bien que cette mesure n'est qu'une approximation où j'ai découpé mon abscisse en n-1 intervalles et pour chacun de ces intervalles, j'ai pris une valeur arbitraire de f(x) incluse dans l'image de f sur cette intervalle.

On remarque que si on fait tendre n vers l'infini, les variation de x deviennent de plus en plus petit (dans le cas ou x[n] reste constant égale à b et x1 reste constant égal à a)
C'est pourquoi on modifie le signe somme en le signe intégrale et le x[p]-x[p-1] en dx.
Ici encore, dx désigne une variation infinitésimale de x...

[hterrolle]

Merci beaucoup Ganash,

Tes explication mon fait un bien fou. C'est la notion d'intervalle et de variation qui me faisait default. en fait dx et dy sont des intervales de variation.


1)

pour la derive, donc la pente f'(x), dy = (y2-Y1) et dx = (X2-X1)

donc dy/dx = (y2-y1)/(x2-x1)= f'(x)

donc dy = (y2-y1) = f'(x) (x2-x1)

pour l'integral dx = (b-a) et dy = (d-c)

Si pour la derive la reference et l'intervale entre deux point. Pour l'integrale l'intervale et la difference entre (ymax - ymin) et (xmax - xmin).

En fait j'avait besoin d'ameliorer mon vocabulaire mathematique. Je savais que le probleme etait petit. C'etait juste un probleme de representation. Donc ont peux quand même dire que dx et dy ont une valeur toute aussi infinisetimal quelle puisse être. Dans le meilleur des cas elle devrait être de la grandeur de la constante de plank (ca c'est en passant) .

donc pour reprendre mon example de depart :

dS = 2 pi R dR donc si la variation est de 1mn et R =10, cela fait :

dS = 2 pi 10 * 0.1 pour l'intervalle entre R=10 et R=10.1

donc dR = 0.1 = (10.1 -10)

J'espere que jusque la je ne melange pas tout.

Donc pour les derivées partiel des fonctions a plusieur variable c'est pas la même notation mais le principe de variation et d'intervale reste a l'oeuvre seul la notation difere ?

PS Ganash : en fait je desire m'attaquer au calcul et equation differenciel. Vue que tu est plutot pedagogue dans ta maniére d'exliquer les choses. Est ce que tu connais un bon bouquin avec beaucoup d'example d'application physique et economique.

En tout cas merci Ganash.

[invitebb921944]

dy/dx = (y2-y1)/(x2-x1)= f'(x)

Attention, il faut écrire :
delta(y)/delta(x)=(y2-y1)/(x2-x1)

et dy/dx = lim[ (x2 tend vers x1) ; (y2-y1)/(x2-x1) ] = f'(x)

C'est la limite de (y2-y1)/(x2-x1) lorsque x2 tend vers x1 qui vaut f'(x), et étant donné que lorsque x2 tend vers x1, (x2-x1) et (y2-y1) tendent vers "l'infiniment petit", on peut modifier la notation et écrire dy/dx au lieu de delta(y)/delta(x).

Dans le meilleur des cas elle devrait être de la grandeur de la constante de plank (ca c'est en passant) .

Attention, on fait des maths ici, pas de la physique

dS = 2 pi R dR donc si la variation est de 1mn et R =10, cela fait :

dS = 2 pi 10 * 0.1 pour l'intervalle entre R=10 et R=10.1

donc dR = 0.1 = (10.1 -10)

J'espere que jusque la je ne melange pas tout.

La variation de R est de... ? 1 mm = 1 millimètre ?
Ton dR est juste uniquement si R est en mm, ce qui est sans doute le cas.
Si R vaut 10 mm, on a :
delta(S) = 2*Pi*10*(10,1-10) = 2Pi*10*0.1 = 2Pi

Donc pour une variation de +0,1 mm (la variation peut être négative) du rayon, le diamètre varie de +2Pi mm² (dans le cas ou R = 10mm !)

En général, on réserve la notation dR pour une variation infinitésimale du rayon, or ici, la variation est de 0,1, elle est quantifiable et ne tend pas vers 0, on devrait donc noter delta(R) et par conséquent delta(S).

Cela dit, les physiciens confondent un peu les deux notations...

Donc pour les derivées partiel des fonctions a plusieur variable c'est pas la même notation mais le principe de variation et d'intervale reste a l'oeuvre seul la notation difere ?

Oui pour les dérivées partielles des fonctions a plusieurs variables, c'est le même principe mais on écrit pas dy/dx mais déron(y)/déron(x) (on s'est compris) justement pour avertir le lecteur que y dépend de plusieurs variables et qu'on le dérive par rapport à la variable x (dans ce cas particulier).

J'espère avoir pu t'aider.

Pour ce qui est des bouquins je n'en ai pas vraiment mais le calcul différentiel intervient à peu près ou tu veux...
En mécanique notamment avec les équations de Newton par exemple.
(ma=somme des forces exterieures ; où a est la dérivée seconde de la position).

[hterrolle]

Merci encore Ganash,

Merci davoir preciser la difference entre deltax et dx. Mais c'est aussi vrai qu'en physique il melage le deux notions. D'ou une partie da ma confusion.

Se serait quoi l'inconvenient d'utiliser dx a la place de delta. Je pense que cela defini l'intervalle entre X2 et X1 comme etant une moyenne, donc l'inconvenient serait une perte de precision. est ce cela ?

[invite52c52005]

Merci encore Ganash,

Merci davoir preciser la difference entre deltax et dx. Mais c'est aussi vrai qu'en physique il melage le deux notions. D'ou une partie da ma confusion.

Se serait quoi l'inconvenient d'utiliser dx a la place de delta. Je pense que cela defini l'intervalle entre X2 et X1 comme etant une moyenne, donc l'inconvenient serait une perte de precision. est ce cela ?

Ces aspects sont évoqués dans le lien que j'ai fourni dans un message précédent.

[invite6327e601]

Bonjour,

cette discussion date un peu, cependant j'ai une question ( peut-être bénine, mais cela me pose problème).

Admettons que j'ai une courbe constituée de différents points. Je suis interessé par la courbure de celle-ci (d²y/dx²).

Mon problème étant le suivant : je trouve le résultat voulu en me servant des delta(y)/delta(x) entre 2 points, puis en faisant la différence de 2 de ces valeurs. J'obtiens donc la différence de pente entre 2 intervalles.
Lorsque je cherche à retrouver ces résultats en appliquant la formule destinée à la courbure (d²y/dx²), (je récupère ma fonction via excel, que je dérive 2 fois, puis j'injecte la valeur de x dedans ), je ne trouve pas les mêmes résultats. Aussi quelle est la différence ? comment puis-je retrouver ces résultats en partant de l'équation de la courbe ?

Cordialement,
oatao

[invite51d17075]

J'obtiens donc la différence de pente entre 2 intervalles.
Lorsque je cherche à retrouver ces résultats en appliquant la formule destinée à la courbure (d²y/dx²), (je récupère ma fonction via excel, que je dérive 2 fois, puis j'injecte la valeur de x dedans ), je ne trouve pas les mêmes résultats. Aussi quelle est la différence ? comment puis-je retrouver ces résultats en partant de l'équation de la courbe ?

Cordialement,
oatao

d'un coté tu as un intervalle et tu mesures une différence de dérivée entre 2 points.
de l'autre, tu prend un point x ( probablement à l'intérieur de l'intervalle mais ou ? ) et tu ne retombes pas sur tes pieds
mais rien ne te dis que la dérivée seconde est constante entre les 2 points.

[invite6327e601]

le point x que je prends est un des points de la courbe que je connais, donc un des 2 points qui me sert à définir mon intervalle

[invite6327e601]

Le point x que je prends est un des points de la courbe que je connais, donc un des 2 points qui me sert à définir mon intervalle.

Je dispose de l'équation de la dérivée seconde, il s'agit d'un polynôme du 4ème degré, donc continu mais non constant.

Il n'y a donc pas possibilité de retrouver les mêmes résultats en partant de l'équation et non de points ?

[invite51d17075]

bonjour,
c'est assez simple, s'il s'agit d'un polynome de degré 4 , alors sa dérivée seconde peut être de degré 2 , soit bien sur non constante sur un intervalle.
donc si x1 et x2 sont les points de ton intervalle :
ton calcul (m0yen) en utilisant les 2 dérivées sera à la fois diff de la valeur en x1 et en x2.

[gg0]

Bonjour Otao.

"Je suis interessé par la courbure de celle-ci (d²y/dx²). " ?? d²y/dx² est la dérivée seconde de la fonction , pas la courbure (même s'il y a un lien).

"je trouve le résultat voulu en me servant des delta(y)/delta(x) entre 2 points, puis en faisant la différence de 2 de ces valeurs. J'obtiens donc la différence de pente entre 2 intervalles." ??
Non, ce n'est pas le résultat voulu puisque la dérivée seconde est obtenue en passant deux fois à la limite, ce que tu n'as pas fait. Tout au plus peut-on dire qu'il s'agit d'une approximation de la valeur cherchée, mais sans connaissance de la précision, une approximation n'a pas beaucoup d'intérêt.

En idée de fond : n'est pas un élément différentiel , ni un "infiniment petit". Pour calculer d²y/dx²il faut connaître la fonction.

Cordialement.

[invite6327e601]

Bonjour,

Il s'agit en réalité d'un polynome d'ordre 6 ( donc dérivé d'ordre 4, mais la conclusion reste identique).
Etant donné que le résultat est de l'ordre de 10-4, mon approximation sur la définition de la courbure est infime ( 10-6 au max)

Je connais la fonction d²y/dx² ( via excel ).

Donc si j'ai bien suivi, mon intervalle de points doit être infiniment petit pour pouvoir me servir de la dérivée seconde. Donc inutilisable en pratique dans mon cas j'imagine, étant donné que je dispose d'un ensemble ponctuel et non continu.

Je pense avoir mis le doigt sur mon problème, j'ai cherché à comparer des résultats calculés avec un ensemble ponctuel, à ceux calculés avec un ensemble continu.

Merci pour votre aide.

Cordialement
oatao

[invite51d17075]

Il s'agit en réalité d'un polynome d'ordre 6 ( donc dérivé d'ordre 4, mais la conclusion reste identique).

plutôt d'ordre 5, non ?
celà étant , je pense que tu as saisi la différence entre Delta(Y)/Delta(x) et dy/dx qui est une notation.
quand à la continuité, il est exact qu'il faut s'en assurer, mais pour un polynome , il n'y a pas de souci.