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0!=1?



  1. #1
    Universus

    0!=1?


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    Salut à tous,

    J'ai vu récemment que 0! égalait 1, chose qui m'a drôlement étonné, je dois l'avouer . Je me demandais comment on pouvait en arriver à ce résultat. Excusez-moi pour ma méconnaissance du sujet, je n'ai eu un cours de probabilité qu'il y a 4 ans de cela et à part calculer la probabilité de lancer cinq six de suite avec un dés, j'ai pas vu grand chose...

    Merci pour votre aide

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  2. #2
    Gwyddon

    Re : 0!=1?

    Salut,

    C'est une convention, ça ne se démontre pas
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  3. #3
    invité576543
    Invité

    Re : 0!=1?

    Bonjour,

    C'est un peu plus qu'une convention particulière! Il y a pas mal d'arguments qui contraignent le choix de cette écriture.

    Par exemple, c'est un cas particulier de la "convention" qui veut que la somme (le produit) d'aucun élément vaille l'élément neutre de l'opération (0 pour une somme arithmétique, 1 pour un produit arithmétique). C'est applicable bien au-delà de l'arithmétique, en fait pour toute opération ayant un élément neutre. C'est d'ailleurs assez intuitif pour une somme (la somme d'aucun nombre est nulle) ou une concaténation (la concaténation d'aucune chaîne de caractère est la chaîne vide), mais curieusement on le perçoit moins bien pour un produit...

    Autre type d'argument, l'extension de certaines formules. Le triangle de Pascal par exemple se définit récursivement indépendamment de la factorielle, et répond à la formule n!/p!(n-p)! pour TOUS ses éléments si on prend 0!=1.

    Etcetera.

    C'est plus qu'une convention, au sens où il n'y a qu'une seule valeur que l'on peut choisir qui généralise un maximum de formules où apparait une factorielle.

    Cordialement,

  4. #4
    Médiat

    Re : 0!=1?

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Par exemple, c'est un cas particulier de la "convention" qui veut que la somme (le produit) d'aucun élément vaille l'élément neutre de l'opération (0 pour une somme arithmétique, 1 pour un produit arithmétique). C'est applicable bien au-delà de l'arithmétique, en fait pour toute opération ayant un élément neutre. C'est d'ailleurs assez intuitif pour une somme (la somme d'aucun nombre est nulle) ou une concaténation (la concaténation d'aucune chaîne de caractère est la chaîne vide), mais curieusement on le perçoit moins bien pour un produit...
    Je ne comprends pas bien 1 + (-1) = 0, la somme vaut bien l'élément neutre; 2 x 1/2 = 1, le produit vaut bien l'élément neutre, c'est d'ailleurs le cas pour tous les groupes (ce qui n'est pas le cas des chaînes de caractères, sauf à définir des caractères inverse ()...

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    C'est plus qu'une convention, au sens où il n'y a qu'une seule valeur que l'on peut choisir qui généralise un maximum de formules où apparait une factorielle.
    C'est pratiquement la définition d'une convention dans le domaine scientifique, il est rare que l'on choisisse une convention au hasard (cf. des questions du genre "est-ce que 1 est un nombre premier).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invité576543
    Invité

    Re : 0!=1?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Je ne comprends pas bien 1 + (-1) = 0, la somme vaut bien l'élément neutre; 2 x 1/2 = 1, le produit vaut bien l'élément neutre, c'est d'ailleurs le cas pour tous les groupes (ce qui n'est pas le cas des chaînes de caractères, sauf à définir des caractères inverse ()...
    Je parle de la valeur de la somme d'aucun nombre, pas de deux! (Et pourquoi parler de groupe Dans ce dont je parlais, la structure requise est celle de monoïde, pas de groupe.)

    Je parlais de la convention générale qui veut par exemple que , indépendamment de f(), ou , ou avec M() des matrices carrées et la matrice unité, etc.

    C'est pratiquement la définition d'une convention dans le domaine scientifique, il est rare que l'on choisisse une convention au hasard (cf. des questions du genre "est-ce que 1 est un nombre premier).
    Le mot "convention" est alors ambigu! Il y a clairement tout un continuum, à une extrémité une "vraie convention" (choisir entre écrire la factorielle de 2 comme 2! ou 2#), cas dans lequel le choix est totalement libre, et à l'autre extrémité une vraie "non-convention", cas sans choix, cas où la décision semble a priori libre, mais en fait tellement contrainte qu'une seule possibilité s'impose. Entre les deux, des cas avec des contraintes plus ou moins importantes...

    Le cas de 0! est clairement pour moi proche de la seconde extrémité. Quelle liberté y-a-t-il vraiment, autre qu'entre ne pas utiliser 0!, et 0!=1 ?

    Cordialement,
    Dernière modification par invité576543 ; 04/07/2007 à 07h08.

  7. #6
    Médiat

    Re : 0!=1?

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Je parle de la valeur de la somme d'aucun nombre, pas de deux! (Et pourquoi parler de groupe Dans ce dont je parlais, la structure requise est celle de monoïde, pas de groupe.)
    Il y a effectivement une différence entre "aucune somme de nombres" et "somme de aucun nombre" pris dans le sens "somme de 0 nombre". Je parlais de groupe pour mon exemple (basé sur la mauvaise compréhension de ton intervention), mais les groupes étant des monoïdes, je ne vois pas le problème.

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Le mot "convention" est alors ambigu! Il y a clairement tout un continuum, à une extrémité une "vraie convention" (choisir entre écrire la factorielle de 2 comme 2! ou 2#), cas dans lequel le choix est totalement libre, et à l'autre extrémité une vraie "non-convention", cas sans choix, cas où la décision semble a priori libre, mais en fait tellement contrainte qu'une seule possibilité s'impose. Entre les deux, des cas avec des contraintes plus ou moins importantes...
    C'est clair qu'entre une convention d'écriture (que je préfère associer au vocabulaire plus qu'à une convention (même si on veut que le vocabulaire ne soit qu'un cas particulier de convention)) et une "vraie convention", il y a une vraie différence : l'une n'est pas raisonnée (ou par un artifice réthorique, éthymologique, etc.) et l'autre l'est pour des "vraies raisons".
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  8. #7
    Ledescat

    Re : 0!=1?

    De toutes les manières, comme l'a dit mmy, il y a tellement d'applications où 0!=1 nous est très pratique que je ne vois pas pourquoi on s'en passerait (développement de taylor-Young, triangle de Pascal ...).
    Cogito ergo sum.

  9. #8
    Médiat

    Re : 0!=1?

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    il y a tellement d'applications où 0!=1 nous est très pratique que je ne vois pas pourquoi on s'en passerait
    C'est bien la raison qui a présidé à ce choix, il n'est pas question de s'en passer .
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  10. #9
    chwebij

    Re : 0!=1?

    on peut aussi passer par la fonction gamma

    mais c'est un peu tiré par les cheuveux car c'est parce qu'elle vérifiait ca et qu'on a en déduit que
    AH NON! au moment où la petite flûte allait répondre aux cordes. Vous êtes ODIEUX!!

  11. #10
    Ledescat

    Re : 0!=1?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    C'est bien la raison qui a présidé à ce choix, il n'est pas question de s'en passer .
    Oui en effet .
    Cogito ergo sum.

  12. #11
    acx01b

    Re : 0!=1?

    salut

    factorielle c'est avant tout un opérateur de combinatoire

    et ça représente le nombre de bijections d'un ensemble de cardinal n sur un autre ensemble de cardinal n

    0! = 1 ça représente l'unique bijection de l'ensemble vide dans l'ensemble vide

    après tu peux décider de ne regarder aucune application de l'ensemble vide dans un autre ensemble

    mais c'est plus simple par exemple pour dire que pour les combinaisons:
    C(n,n) est égal à C(n,0)

    ici on est obligé de regarder une application de l'ensemble vide dans un autre ensemble quelque part

    on voit donc que les applications de l'ensemble vide dans un autre ensemble ne posent pas de problème et permettent plutôt de se représenter des choses qui sinon étaient difficiles à rendre rigoureuses

  13. #12
    Universus

    Re : 0!=1?

    Merci à tous pour cette discussion qui, avec 11 messages, est bien plus que ce à quoi je m'attendais

    Bref, j'en retiens que l'expression 0!=1 ne se démontre pas en tant que tel, mais qu'il s'agit d'une égalité pratique dans les cas où une formule applicable pour tout n différent de 0 devrait faire intervenir 0!.

    En fait, pas longtemps après avoir vu cette formule, j'ai découvert le triangle de Pascal où, pour que celui-ci fonctionne, il fallait supposer que 0!=1. Il n'était donc pas du tout question de remettre en cause ce résultat, mais seulement d'en connaître la provenance.

    Autrement, des réponses telles que celle de acx01b me sont inaccessibles (malheureusement) ; une chose que j'ai remarqué à maintes reprises sur Futura, c'est que l'enseignement général (au moins) des mathématiques (entre autres) en Europe est bien plus poussé que celui qu'il y a ici au Québec. Il m'est difficile de comparer, mais j'ai l'impression qu'au Québec on s'attarde plus à apprendre aux élèves comment résoudre des problèmes mathématiques qu'à leur apprendre le contenu des théories mathématiques ; du coup, la compréhension du pourquoi d'une certaine formule ou opération nous est souvent inaccessible. Bref, j'ai aucune idée ce qu'est une bijection ou un cardinal Voilà qui ferme ce petit volet sociologique

    Merci encore pour vos réponses

  14. #13
    chwebij

    Re : 0!=1?

    ca dépend de ce que tu compares, pour ca il faut savoir ton niveau car tout ceux qui t'ont répondu, ont tous au moins bac +2 (à part pour acx01b dont je ne connais pas le niveau)
    AH NON! au moment où la petite flûte allait répondre aux cordes. Vous êtes ODIEUX!!

  15. #14
    Syracuse_66

    Re : 0!=1?

    Salut,
    Un ensemble de cardinal n est un ensemble qui possède n éléments. Par exemple :

  16. #15
    Universus

    Re : 0!=1?

    Ah, c'est évident que je ne me compare pas aux "réguliers" du forum, mais juste à voir les problèmes que posent les gens de mon âge, je vois bien qu'il y a une différence (plus grande que l'emploi du terme "coefficient directeur" au lieu de mon "taux de variation" par exemple ^^). Juste à regarder les principaux tags en haut de ce forum pour constater que la majorité sont des sujets dont je n'ai rien vu encore. Et j'ai juste à écouter ce que disent mes collègues arrivés de France pour comprendre qu'au Québec, c'est relativement facile Mais bon, ça doit se valloir à un moment donné...

    Amicalement

    Edit : Merci Syracuse_66 pour cette précision!

  17. #16
    lolouki

    Re : 0!=1?

    salut,
    Dans le style pratique :
    si on definit la factorielle comme etant n!= n * (n-1)! et que l'on dit 0! = 0 , alors n! = 0 pour tout n ds N . C'est bidon mais je me dis qu'avec la convention tout va bien !

  18. #17
    polo974

    Re : 0!=1?

    En fait, si on défini
    • 1! = 1
    • (n-1)!= n!/n
    Tout va bien, même les factorielles de nombre négatifs passent par une division par 0 donc sont impossibles.

  19. #18
    Ledescat

    Re : 0!=1?

    Citation Envoyé par chwebij Voir le message
    ca dépend de ce que tu compares, pour ca il faut savoir ton niveau car tout ceux qui t'ont répondu, ont tous au moins bac +2 (à part pour acx01b dont je ne connais pas le niveau)
    bac+1 (mais j'incrémente de 1 en septembre ).
    Cogito ergo sum.

  20. #19
    Universus

    Re : 0!=1?

    même les factorielles de nombre négatifs passent par une division par 0 donc sont impossibles.
    Ah, ça tombe bien, je me demandais bien si c'était possible une factorielle négative. Merci

  21. #20
    Ledescat

    Re : 0!=1?

    Citation Envoyé par Universus Voir le message
    Ah, ça tombe bien, je me demandais bien si c'était possible une factorielle négative. Merci
    Regarde donc le post de chwebij qui t'expose la fonction , il devrait t'intéresser . Cette fonction généralise en quelques sortes la factorielle aux réels, et même aux complexes (sauf exceptions).
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_gamma
    Cogito ergo sum.

  22. #21
    taladris

    Re : 0!=1?

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Cette fonction généralise en quelques sortes la factorielle aux réels, et même aux complexes (sauf exceptions).
    Les exceptions étant justement les entiers négatifs ou nuls

  23. #22
    Ledescat

    Re : 0!=1?

    Citation Envoyé par taladris Voir le message
    Les exceptions étant justement les entiers négatifs ou nuls
    Oui ,justement .
    Cogito ergo sum.

  24. #23
    taladris

    Re : 0!=1?

    Tu m'impressionne, Ledescat!
    Maitriser la fonction Gamma à Bac+1
    ça nécessite des notions d'intégrales impropres et de convergence uniforme qui ne sont pas évidentes

  25. #24
    Universus

    Re : 0!=1?

    Merci, mais c'est définitivement trop pour moi En fait, je n'ai pas encore vu le calcul infinitésimal que je vais commencer à étudier dès l'automne. Et je n'ai aucune notion des complexes non plus. Bref, j'ai très peu de connaissances pour en apprendre davantage sur des sujets qui m'intriguent (malheureusement).

    Amicalement

  26. #25
    Ledescat

    Re : 0!=1?

    Citation Envoyé par taladris Voir le message
    Tu m'impressionne, Ledescat!
    Maitriser la fonction Gamma à Bac+1
    ça nécessite des notions d'intégrales impropres et de convergence uniforme qui ne sont pas évidentes
    Je t'arrête tout de suite , je connais les grandes propriétés de la fonction gamma, l'allure de la courbe , mais je ne saurais en dire plus .
    Cogito ergo sum.

  27. #26
    Universus

    Re : 0!=1?

    Rebonjour,

    J'écris un autre post au lieu d'éditer le précédent, faute de temps.

    Je ne pense pas trop changer de sujet étant donné que ce post semble intimement lié au calcul infinitésimal. Je me demande si vous ne connaîtriez pas un site ou quelque chose qui me permettrait de prendre un peu d'avance dans ce domaine des mathématiques. J'ai débuté par la lecture du document destiné au calcul différentiel sur le site Sciences.ch et je comprends plutôt bien, mais vu la tête des exercices qu'on retrouve sur le net, j'ai l'impression qu'il s'agit d'un minimum

    Pour information, j'ai 17 ans et, comme je l'ai dit dans mon message précédent, je commence l'étude du calcul différentiel cet automne. Même si je pense bien qu'on aura au préalable quelques cours de révision des concepts essentiels à ce genre de mathématiques ainsi qu'à l'introduction de nouveaux concepts tels que les limites, je me dis que je dois avoir déjà plusieurs des notions nécessaires à débuter l'étude du calcul différentiel, sans quoi je ne débuterais pas la prochaine année scolaire avec ceci. Voilà pourquoi je pense que je pourrais dès maintenant débuter mon étude, sans évidemment prétendre maîtriser la fonctione gamma d'ici la fin de l'été Juste une introduction et un peu plus peut-être.

    Merci

    Universus

  28. #27
    Ledescat

    Re : 0!=1?

    J'ai trouvé quelque chose surle calcul différentiel sur le forum: http://forums.futura-sciences.com/thread33753.html
    Mais bon c'est niveau L3 , regarde toujours mais bon.
    Cogito ergo sum.

  29. #28
    Universus

    Re : 0!=1?

    Merci beaucoup Ledescat. C'est par contre dommage que je ne réussisse pas à voir aucun des trois documents (c'est le genre de petites niaiseries qui m'arrivent tout le temps, malchanceux que je suis ). Mais je n'y aurais sans doute jamais compris quoique ce soit de toute façon (vu que du L3, mais si je ne connais pas l'équivalent québécois, ça semble plutôt élevé ).

    Amicalement

  30. #29
    Ledescat

    Re : 0!=1?

    Oui c'est bac+3 .
    Cogito ergo sum.