[TS+] Morphisme de R

[invitefc60305c]

Bonjour.
J'aimerai avoir un peu d'aide sur l'exo suivant, ca serai sympa de m'aider

Soit f: R -> R non identiquement nulle telle que R



Montrer que f est croissante puis


Déjà, est-ce qu'on peut dire que puisque f est une fonction linéaire de la forme "ax" avec a un réel quelconque ?
En partant de cela, l'énoncé devient évident.

Sinon j'ai pensé à cela :

On peut supposer 0<x<y.
Supposons f décroissante.
0 < x < y
f(0) > f(x) > f(y)
Or f(0) = 0 (facile à démontrer)
0 > f(x) > f(y)
On ajoute -f(y) à chaque membre.
-f(y) > f(x) - f(y) > 0
f(0-y) > f(x-y) > 0
Or f(x-y) ne peut être positif, en effet, x-y négatif donc f(x-y) négatif aussi avec f(x-y) < x-y
C'est absurde, f n'est pas décroissante.

Supposons f constante, f = k avec k un réel non nul.
f(x+y) = f(x) + f(y) devient donc k = 2k <=> 1=2
Absurde, donc f n'est pas constante.

Par élimination, f est croissante.

Merci beaucoup.
-----

[Médiat]

Par élimination, f est croissante.

Faute de logique : "ne pas être croissante" n'est pas équivalent à "être décroissante" ou "être constante".

[invitebb921944]

Si f(x)=ax
Alors f(xy)=axy et f(x)f(y)=axay=a²xy
Donc tu commets une erreur !

De plus, comme le dit Mediat, tu commets une faute de logique, prenons la fonction x->cos(x), tu peux montrer qu'elle n'est pas décroissante sur R, qu'elle n'est pas constante sur R et pourtant, elle n'est pas croissante sur R.

f(x)=f(x)+f(0)
f(x)=f(x)*f(1)
La première égalité donne f(0)=0
La deuxième donne f(1)=1
Tu dois pouvoir faire une récurrence facilement pour montrer que f=id (euh en fait ca marche que dans N ca c'est balo )

Sinon pour la croissance j'ai pas trop d'idées, je vais y réfléchir !

[invitefc60305c]

Si f(x)=ax
Alors f(xy)=axy et f(x)f(y)=axay=a²xy
Donc tu commets une erreur !

J'ai pas compris.

Si f(x) = ax (fonction linéaire) alors f(xy) = axy et f(x)f(y) = a²xy
Par transitivité, axy = a²xy donc a = 1
Ainsi f(x) = x


Pour la récurrence, bah il va falloir trouver autre chose alors !

Pour la faute de logique, j'en étais sûr mais j'avais pas d'autres idées

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea7fcfc37]

Tu peux utiliser ça mais il faut que tu redémontres que f(x+y) = f(x) + f(y) implique f linéaire.

[invitebb921944]

Si f(x) = ax (fonction linéaire) alors f(xy) = axy et f(x)f(y) = a²xy
Par transitivité, axy = a²xy donc a = 1
Ainsi f(x) = x

Ah ouais

[invitec053041c]

Si on montre qu'elle est linéaire, on peut facilement le montrer qur Z puis Q.
En revanche, la seule méthode de passer de Q à IR que je connaisse nécéssite la continuié de la fonction...(un réel étant limite d'une suite de rationnels)

Si f(x) = ax (fonction linéaire) alors f(xy) = axy et f(x)f(y) = a²xy
Par transitivité, axy = a²xy donc a = 1
Ainsi f(x) = x

Encore faut-il avoir montré qu'elle est linéaire...

[invitefc60305c]

Donc la bonne méthode semble être de montrer que f est linéaire.

Pour la démonstration en supposant que f n'est que croissante, voila comment procéder :


Soit x un réel.
Soient une suite croissante de rationnels et une suite décroissante de rationnels qui convergent toutes les deux vers x.
Alors, pour tout entier ,
Et puisque f est croissante, on a donc :


En faisant tendre n vers il vient
d'où

[invitec053041c]

As-tu montré que f est linéaire sur Q ?

[invitefc60305c]

En fait, dans mon message, j'ai supposé qu'on l'avait fait et qu'on devait à présent utiliser la monotonie (et non pas la continuité) de f.

A propos, j'ai déjà fait cette démo dans un exo qu'on a posté dans la section Exercices pour les concours et examens. Et j'avais pas mal galéré !

[invitec053041c]

D'accord.
Par récurrence on le montre facilement sur IN.
Après, 0=f(0)=f(n-n)=f(n)+f(-n), donc f(-n)=-f(n) donc sur IZ c'est plié.
Enfin,pour (p,q) appartenant ) IZ² et q différent de 0:
qf(p/q)=f(p/q+...+p/q) (q fois)
=f(p)=pf(1);d'où le résultat sur IQ.

Cordialement.

[invite35452583]

Ledescat a fait une bonne partie du boulot. (A remarquer qu'il n'ait utilisé que f était additive f(x+y)=f(x)+f(y)) On peut dans le même ordre d'idée montrer que f est Q-linéaire non c'est pas méchant ça dit simplement que pour tout rationnel r et tout x réel f(rx)=rf(x). ais ce ne sera pas utile.
anonymus a fait une autre partie du travail (montrer que f(r)=rf(1) pour tout rationnel et f croissante (*) alors f(x)=xf(1) pour tout x réel)
f(x)=xf(1) et f non identiquement nulle=>f(1)=1 (Ganash l'a déjà rappelé).
A remarquer que l'on a toujours pas utilisé autre chose que f(x+y)=f(x)+f(y). Par contre on a utilisé f croissante ce qui reste à montrer.

Reste juste à montrer que f est croissante et ce uniquement à partir de propriété algèbrique.
x<y=>?f(x)<f(y)
Autrement dit
y-x>0=>?f(y)-f(x)=f(y-x)>0
Comment exprimer algébriquement qu'un réel est positif (à un moment on va peut-être l'utiliser la multiplication) ?
Si vous ne trouvez pas et que je devais m'absenter, aller voir du côté "classiques parmi les classiques"

[invitec053041c]

Merci pour la piste !

x-y>0, donc x-y=a² (a réel), f(x)-f(y)=f(x-y)=f(a²)=f(a)²>0
D'où le f croissante.