Salut.
J'ai quelques questions dont je ne trouve pas les réponses dans les livres, j'espère que vous pourrez m'aider.
D'après la théorie des ensembles, le couple, alors pourquoi utilise t-on cette notation pour spécifier un point du plan ?
J'ai cru comprendre que deux ensembles sont égaux si ils contiennent les mêmes éléments,
Merci d'avance.
ExactEnvoyé par DaoLoNg WoNg
Faux, ces deux ensembles n'ont aucun élément en commun.
L'ensemble
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Salut.
La première question m'intéresse toujours si quelqu'un a une réponse ^^.
J'en profite pour rajouter une question. La théorie des ensembles axiomatisés a été construite seulement au XXeme alors qu'il y avait déja beaucoup de choses en maths.
Peut-on dire qu'elle a été construite avec une volonté de recoller une base avec les choses déja existante ? Ce qui expliquerait la manière étrange dont elle est construite, surtout quand on démarre les mathématiques par là.
Merci encore !
Cette première question n'est pas claire. Je vais faire l'hypothèse que tu sous-entend un repère cartésien. Déja, une notation n'est que cela, une notation. Ce qu'on attend comme propriété suffisante d'une notation est d'être non ambigüe.D'après la théorie des ensembles, le couple
Pourquoi celle-ci est non ambigüe? De fait, la notation (x; y), avec x et y éléments de R, est d'abord une notation de RxR, de R², c'est une notation de couples, adaptée par définition à RxR, le produit cartésien étant un ensemble de couples.
Pour en arriver à une notation des points du plan, il faut invoquer une bijection entre les points du plan et R². L'existence et le choix d'une telle bijection (que l'on appelle "choix de repère") permet de considérer la notation des couples de RxR comme une notation des points du plan.
Cordialement,
Je pense que DaoLoNg WoNg subodore un abus de notation quelque part. Et là mmy tu ajoutes de la confusion je crois (je ne dis pas que tu ne vois pas la différence mais je trouve que, pour le coup, tu laisses un peu de confusion) :!
Non, si on définit le plan (version théorie des ensembles) comme le produit cartésien ensembliste R²=RxR alors (x;y)={{x};{x;y}} sont les points du plan, il n'y a pas besoin de bijection pour cela.
Par contre si on se munit d'un autre repère (O;e, e'), on dit du point du plan vérifiant
Maintenant si on définit le plan (trop de vodka la veille par exemple) comme le sev de de R^4 formé des quadruplets (x,y,z,t) tels que x=z et y=t. Alors aucun point ne peut admettre comme notation {{x},{x,y}} (parfois des écritures se simplifient comme par exemple (x;x)={{x}} mais dans R^4 {{x},{x,y}} serait confus : est-ce (x,y,x,y) ou (x,y,y,y) ou (x,y,y,x) ou ...?)
Par contre si on prend comme repère O=(0,0,0,0) e=(1,0,1,0) f=(0,1,0,1) alors si M a pour coordonnées (x,y) dans ce repère on sait sans ambiguïté que M=(x,y,x,y).
Personnellement, ça me choque pas mal cette approche. Mais aussi parce que je vois l'application à la physique. Le plan est homogène, isotrope et sans échelle, ce sont des propriétés fondamentales de symétrie. Or R² n'est ni l'un ni l'autre ni l'autre. Déjà dans l'écriture "R", il y a une notion de corps, donc de deux points aux propriétés particulières, 0 et 1, ce qui est "surdéfini" par rapport à une droite affine. Et R² n'est pas isotrope, par construction.
R² est donc structurellement très différent du plan, R² est bien trop riche en propriétés d'un côté (structure de corps de R) et n'a pas les bonnes symétries de l'autre (homogénéité, isotropie et symétrie d'échelle).
Autre manière de présenter les choses, R² serait un poil moins bien adapté à l'espace vectoriel du plan affine, à son espace tangent: l'homogénéité n'est plus requise, et le vecteur nul et (0, 0) sont assimilables (tout morphisme raisonnable enverra l'un sur l'autre). Mais il manque toujours l'isotropie et la symétrie d'échelle. Trop riche encore. Mais, plus grave, la distinction vectoriel/affine se perd si on voit R² pour les deux.
Donc, pour moi, non, R² et le plan sont deux structures distinctes. Elles ne sont pas la même chose "à un isomorphisme unique près", parce que justement chaque repère correspond à un morphisme distinct, avec la quadruple jauge de l'origine, de deux directions et d'une échelle.
Je reviens sur les propriétés d'homogénéité, d'isotropie et d'invariance d'échelle. Pour moi ce sont les propriétés fondamentales qui permettent (avec la métrique, elle-même homogène, isotrope et sans échelle spécifique) de parler d'un carré, d'un angle, sans préciser sa localisation, son orientation ou sa taille.C'est à dire le menu de tous les jours de la géométrie du plan.
Pour le coup, de moins point de vue, c'est toi qui introduis toute une collection de confusions. Et l'idée de "voir la différence" me semble pouvoir être relancée à l'envoyeur...
Cordialement,
Tu as raison, j'ai viré une confusion (notation des points d'un plan et notation de ses coordonnées) par la porte pour en introduire encore plus par les fenêtres.
Je propose alors la reformulation suivante de ton 1er propos :
"Cette première question n'est pas claire. Je vais faire l'hypothèse que tu sous-entend un repère cartésien. Déja, une notation n'est que cela, une notation. Ce qu'on attend comme propriété suffisante d'une notation est d'être non ambigüe.
Pourquoi celle-ci est non ambigüe? De fait, la notation (x; y), avec x et y éléments de R, est d'abord une notation de RxR, de R², c'est une notation de couples, adaptée par définition à RxR, le produit cartésien étant un ensemble de couples.
Pour en arriver à ce que tu (DaoLoNg WoNg) appelles une "notation des points du plan", il faut invoquer une bijection entre les points du plan et R². L'existence et le choix d'une telle bijection (que l'on appelle "choix de repère"
Cordialement
Merci, j'ai plus qu'il me fallait
