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Nombre Premier



  1. #1
    BOBYJOE

    Nombre Premier


    ------

    Bonsoir tout le monde,

    Soit p un nombre premier. Déterminer les naturels x et y tels que x² - y² = p

    Il y a bien plusieurs solution?? je ne suis quand même pas fou..
    Alors pourquoi ne demandent-ils pas un ensemble??

    Puis si quelqu'un pouvait juste me donner un indice pour commencer, pour savoir comment partir, parce que la j'ai juste posé :

    (x-y)(x+y) = p

    Et donc p est un multiple de x+y et/ou x-y, mais après...

    -----

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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : Nombre Premier

    Le nombre premier p est le produit de 2 nombres. Ca ne te paraît pas étrange pour un nombre premier ?

  4. #3
    BOBYJOE

    Re : Nombre Premier

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    Le nombre premier p est le produit de 2 nombres. Ca ne te paraît pas étrange pour un nombre premier ?
    Ba si, j'ai pensé ça au début aussi, mais par ex:

    x=10
    y=9

    x²-y²=19 Or 19 est un nombre premier.

    C'est pour ca que je ne comprenais pas..

    Mais ca voudrais dire que (x-y)=1 et x+y =p

    Donc x=1+y et y=p-x on ne peut pas obtenir de valeur?

  5. #4
    -Zweig-

    Re : Nombre Premier

    Citation Envoyé par BOBYJOE Voir le message
    Donc x=1+y et y=p-x on ne peut pas obtenir de valeur?
    x = 1 + y
    y = p - x <=> y = p - 1 - y <=> y = (p - 1)/2

    D'où x = (p + 1)/2

    Mais x et y sont entiers. Il reste donc à savoir quand (p + - 1)/2 sont entiers. Mais en fait, tout p > 2 est solution puisque par définition un nombre premier p > 2 est impair, donc p + 1 et p - 1 sont pairs.

    Ainsi les solutions sont données par les couples (x, y) = ((p + 1)/2, (p - 1)/2) et permutation pour tout p > 2.

    Maintenant, il reste le cas où x + y = 1 et x - y = p à traiter.
    Dernière modification par -Zweig- ; 29/09/2007 à 18h51.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    danyvio

    Re : Nombre Premier

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    Le nombre premier p est le produit de 2 nombres. Ca ne te paraît pas étrange pour un nombre premier ?
    Non, si l'un des deux facteurs est 1
    Ce qui est forcément le cas de x-y sinon effectivement p ne serait pas premier.

    La solution passe donc par x-y = 1, donc x et y sont consécutitfs, avec y=x+1
    et donc
    x+(x+1) = p

    Les solutions sont donc les nombre x et x +1 tq 2X+1 = p.

    A partir de là, on prend n'importe quel nombre premier, par ex 97
    On divise par 2 -> 48,5

    Les solutions sont 48 et 49

    En notation plus matheuse, x=E[p/2) et y=x+1 (E est la fonction "partie entière")

    En fait, tout nombre impair peut être décomposé en somme de deux nombres consécutifs par cette méthode.
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

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