Bonsoir tout le monde,
Soit p un nombre premier. Déterminer les naturels x et y tels que x² - y² = p
Il y a bien plusieurs solution?? je ne suis quand même pas fou..
Alors pourquoi ne demandent-ils pas un ensemble??
Puis si quelqu'un pouvait juste me donner un indice pour commencer, pour savoir comment partir, parce que la j'ai juste posé :
(x-y)(x+y) = p
Et donc p est un multiple de x+y et/ou x-y, mais après...
Le nombre premier p est le produit de 2 nombres. Ca ne te paraît pas étrange pour un nombre premier ?
Ba si, j'ai pensé ça au début aussi, mais par ex:Envoyé par Jeanpaul
x=10
y=9
x²-y²=19 Or 19 est un nombre premier.
C'est pour ca que je ne comprenais pas..
Mais ca voudrais dire que (x-y)=1 et x+y =p
Donc x=1+y et y=p-x on ne peut pas obtenir de valeur?
x = 1 + y
y = p - x <=> y = p - 1 - y <=> y = (p - 1)/2
D'où x = (p + 1)/2
Mais x et y sont entiers. Il reste donc à savoir quand (p + - 1)/2 sont entiers. Mais en fait, tout p > 2 est solution puisque par définition un nombre premier p > 2 est impair, donc p + 1 et p - 1 sont pairs.
Ainsi les solutions sont données par les couples (x, y) = ((p + 1)/2, (p - 1)/2) et permutation pour tout p > 2.
Maintenant, il reste le cas où x + y = 1 et x - y = p à traiter.
Non, si l'un des deux facteurs est 1
Ce qui est forcément le cas de x-y sinon effectivement p ne serait pas premier.
La solution passe donc par x-y = 1, donc x et y sont consécutitfs, avec y=x+1
et donc
x+(x+1) = p
Les solutions sont donc les nombre x et x +1 tq 2X+1 = p.
A partir de là, on prend n'importe quel nombre premier, par ex 97
On divise par 2 -> 48,5
Les solutions sont 48 et 49
En notation plus matheuse, x=E[p/2) et y=x+1 (E est la fonction "partie entière")
En fait, tout nombre impair peut être décomposé en somme de deux nombres consécutifs par cette méthode.
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
