ln (1-ɑ) -> -ɑ si ɑ=0!! = ?

[invitec38e3ca5]

Bonjour!!
Dans le cadre de l'application de la pression osmotique, j'ai à passer par un détail mathématique ennuyeux!!

Je ne vois pas pourquoi ln(1-ɑ) = -ɑ si on fait tendre ɑ vers 0!!
Si moi je fais tendre ɑ vers 0, je trouverais ln(1-0) = 0!!
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[invite8241b23e]

Salut !

Connais-tu les développements limités ?

[invitec38e3ca5]

Aïe! il me semble avoir vu ça dans un DM de mathématique particulièrement éprouvant en terminale, l'an dernier, avec des suites je crois!!

Mais je ne me rappelle plus le rapport!

[inviteae224a2b]

Bonjour,

en fait quand on parle de a tend vers zero, celà veut dire que "a" devient aussi proche de 0 que l'on veut sans jamais l'atteindre.

Maintenant je te conseils de regarder un petit cours sur les développement limités.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec336fcef]

Bonjour,

pas besoin de regarder explicitement les développements limités. La seule définition de la dérivée en un point suffit. En fait, tu étudies la dérivabilité de la fonction en x = 0.
Cette dérivabilité équivault au fait que le taux d'accroissement quand ait une limite finie.
Ainsi :
donc on sait que quand alors ln(1+h) tend vers h.
Ainsi, en remplçant h par -alpha dans ton cas précis, tu retombes sut tes pattes.

[invitec336fcef]

Bonjour,

pas besoin de regarder explicitement les développements limités. La seule définition de la dérivée en un point suffit. En fait, tu étudies la dérivabilité de la fonction en x = 0.
Cette dérivabilité équivault au fait que le taux d'accroissement quand ait une limite finie.
Ainsi :
donc on sait que quand alors ln(1+H) tend vers h.
Ainsi, en remplçant h par -alpha dans ton cas précis, tu retombes sut tes pattes.

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[invitec336fcef]

Bonjour,

pas besoin de regarder explicitement les développements limités. La seule définition de la dérivée en un point suffit. En fait, tu étudies la dérivabilité de la fonction en x = 0.
Cette dérivabilité équivault au fait que le taux d'accroissement quand ait une limite finie.

Le taux d'accroissement d'une fonction f définie sur un intervalle I, est une fonction définie sur un intervalle I privé de a :

On dira par ailleurs que f est dérivable en a ssi phi admet une limite finie en a.
Le taux d'accroissement est également défini d'une autre façon :

Dans ce cas, le cas se ramène au cas où h tend vers 0. C'est ce dernier cas que tu écris implicitement.
Dans ton cas, la fonction f est le logarithme népérien. Ainsi :
donc on sait que quand alors ln(1+H) tend vers h.
Ainsi, en remplçant h par -alpha dans ton cas précis, tu retombes sut tes pattes.

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[invitec38e3ca5]

Ainsi :
donc on sait que quand alors ln(1+H) tend vers h.

Hé! Merci pour la réponse très complète!!
Moi je coince sur ce que j'ai indiqué en citation!

En fait moi je vois que si on fait tendre h vers 0, le numérateur tend vers 0 tout comme le dénominateur!! et donc c'est une forme indéterminé!!
Je ne sais plus s'il était possible de lever cette indétermination, mais quand bien même, je crois bien que j'aurais trouvé soit 0 soit une valeur infinie...!

[invitec336fcef]

eh non, quand un numérateur et un dénominateur tendent tous deux vers 0, alors le quotient n'a pas forcément une limite indéterminée.
Avec les mains, dans ton exemple, on sait qu'au voisinage de 0, la fonction logarithme se comporte comme la fonction identité. Donc la limite de leur quotient n'est pas nulle. Il ne faut pas s'arrêter aux formes indéterminées, il y a toujours un moyen de s'en sortir en étudiant une dérivée ponctuelle, ou bien en faisant un développement de Taylor...

++

[invite7d436771]

Bonsoir,

peut etre qu'en écrivant tu verras plus le lien avec la dérivée en un point ou la limite du taux d'accroissement comme suggéré plus haut ...

Cordialement,

Nox