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Spé math congruence



  1. #1
    la brioche

    Spé math congruence


    ------

    Salut, j'ai résolu la plupart des questions à part la 4.a mais je souhaiterai quand même que vous m'aidiez dans la rédaction car je pense que mes démonstrations ne sont pas à la hauteur...
    merci

    On considère les dix caractères A,B,C,D,E,F,G,H,I et J auxquels on associe dans l’ordre les nombres entiers de 1 `a10.On note Ù= {1,2,...,10 }.On appelle message tout mot, ayant un sens ou non forme avec ces dix caractères.
    1. On désigne par f la fonction définie sur R par « f (n )est le reste de la division euclidienne de 5 n par 11 »
    On désire coder a l’aide de f le message « BACF »
    Compléter la grille de chiffrement ci-dessous :

    Lettre B A C F
    N 2 1 3 6
    f (n ) 3 5 4 5
    LETTRE C E D E

    Peut-on déchiffrer le message codé avec certitude ?

    2. On désigne par g la fonction définie sur U par « g (n) est le reste de la division euclidienne de 2 n par 11 »´Établir sur le modèle précédent, la grille de chiffrement de g .Permet-elle le déchiffrement avec certitude de tout message codé à l’aide de g ?

    3. Le but de cette question est de déterminer des conditions sur l’entier a compris entre 1 et 10 pour que la fonction h définie sur E par « h (n) est le reste de la division euclidienne de n par 11 » permette de chiffrer et déchiffrer avec certitude un message de 10 caractères.
    Soit i un élément de Ù.

    (a)Montrer en raisonnant par l’absurde, que si, pour tout i appartenant à U, i<10, a i n’est pas Congru à 1 modulo 11, alors la fonction h permet le déchiffrement avec certitude de Tous messages.

    (b)Montrer que s’il existe i appartenant à Ù, i<10, tel que a^i=1 [11 ],alors la fonction h ne permet pas de déchiffrer un message avec certitude.

    (c)On suppose que i est le plus petit entier naturel tel que 1≤ i ≤10 vérifiant a^i=1 [11].
    En utilisant la division euclidienne de 10 par i , prouver que i est un diviseur de 10.

    (d) Quelle condition doit vérifier le nombre a pour permettre le chiffrage et déchiffrage
    avec certitude de tous messages `a l’aide de la fonction h ? Faire la liste de ces nombres.


    merci a tous à bientot

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