Exo spé math (congruence)

[invite521eae94]

Salut,
je bloque sur la fin d'un exo sur les congruence:

1.a. Vérifier que l'equation 2x² - 2x + 1 = 0 n'admet pas de solution réelle (facile )

b. Vérifier que -21 , -13, 34, 112 sont solution l'equation (1) 2x² - 2x + 1 congru 0 (modulo 5) (là aussi c'est bon)

2.a Justifer que x est solution de (1) si et ssi il existe un entier k telque: (2) 2x² - 2x + 1 - 5k = 0 (la ca marhce aussi)

b. Calculer le discriminant de cette dernière équation. Démontrer que pour que (2) admette une solution entière, il faut qu'il existe un entier p telque: p² + 1 congru 0 (modulo 10) (la aussi c'est bon!)

En utilisant les congruence modulo 10, déterminer les entiers p vérifiants la relation ci-dessus (là j'ai fait un sorte de tableau, je crois qu'on appel ca disjonction des cas, et je trouve que c'est tout les nombres qui ce finissent par 3 ou 7)

c. Déterminer toute les solution de (1) (alors la je vois pas du tout, enfin je vois pas comment me servir de ce qu'on à fait avant )

3. Vérifier que les termes de suites arithmétiques de premier terme -1 et 2 et de rasion 5 sont tous solution de (1). (bon la j'ai pas trouvé, mais pense que si j'arrive la 2.c, ca devrai aller tous seul...)

Voilà si y a quelqu'un qui se sens de m'aider ca serai simpa!

bye
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[invite8241b23e]

important : voir ici

[invite521eae94]

Je pense que mon post correspond aux critères, certes j'ai pas écrit tout mon raisonnement pour gagner du temps, mais bon pour arriver à la fin de l'exo, j'ai bien dut chercher un peu...
Enfin après c'est aux modo!
on verra...
bye

[invite185bdb3f]

salut ,

2.c - d'aprés ton tableau de disjonction des cas tu trouve que les resultats de p²+1 = 0 [10] sont :
p=3+10k ou p=7+10k' (k entier).

d'après la question 2.b on sait que le discriminant de (2) c'est 4p² donc la racine du discriminant est egale a 2p donc soi
d1=6+20k ou bien d2=14+20k (k entier).

donc on peut trouver les solutions de (1) qui sont :
S1={(-1-5k);(2+5k);(-3+5k);(4+5k)} (k entier)

3 - on considere une suite Un tel que :
U0=-1 et Un=n+5
Un est arithmetique et sa raison est 5.
donc on peux lecrire comme cela :
Un=U0+5n (n entier)
ce qui donne :
Un=-1+5n
donc les termes de la suites Un sont des solutions de (1)

même methode pour la suite Vn donc le premier terme est 2 et de raison 5.

Voila!

[A voir en vidéo sur Futura]