Exo Math SPE - Term S

[invitebd97d45d]

Bonjour, j'ai un pt'it exo pour demain, vous pouvez me corriger et m'aider svp

Exo 1 : Identité remarquable et divisibilité
n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
f(n) est l'entier naturel défini par f(n)=n⁴ + n³ + n² + n + 1

1.a) Vérifier que (n-1).f(n) = n⁵ - 1.
b) En déduire que n⁵ - 1 est divisible par f(n).

2.a) Démontrer que pour tout réel x,
xⁿ - 1 = (x-1)(x^n-1 + x^n-2 + ... + x + 1).
Démontrer que ces mêmes entiers sont divisibles par f(n).

3) Quel est le reste dans la division de f(n⁵ ) par f(n).


Exo 2 : Somme des diviseurs et carré
p désigne un nombre premier supérieur à 2.
1) Donner la liste des diviseurs strictement positifs de p⁴ .
2) S désigne la somme de ces diviseurs strictement positifs.
Démontrer que (2p² +p)² < 4S < (2p² + p + 2)²

3.a) Démontrer que pour tout p fixé, il existe un seul entier naturel n dont S est le carré.

b) Déterminer les nombres premiers p tels que la somme des diviseurs positifs de p⁴ soit un carré parfait.

Alors, voici mes réponses :

1.a) On a :
f(n)= n⁴ + n³ + n² + n + 1 avec n € N et n >= 2

Vérifions que :
(n-1).f(n) = n⁵ - 1 avec n € N et n >= 2
On a donc :
(n-1)(n⁴ + n³ + n² + n + 1)
En dévellopant, on trouve bien n⁵ - 1.
On a bien (n-1).f(n) = n⁵ - 1 avec n € N et n >= 2.

b) "Si b | a alors il existe un réel k tel que a = k * b"
Ici on a :
Si f(n) divise n⁵ - 1, alors il existe un réel k tel que :
n⁵ - 1 = f(n) * k. Or k existe et est égal à (n-1).
Et on a bien montrer que (n-1).f(n) = n⁵ - 1 avec n € N et n >= 2.
f(n) divise donc n⁵ - 1.

2a) Démontrons que pour tout réel x on a :
xⁿ - 1 = (x-1)(x^n-1 + x^n-2 + ... + x + 1)
On a :
(x-1)(x^n-1 + x^n-2 + ... + x + 1)
En dévelloppant :
(xⁿ - x^n-1 + x^n-1 - x^n-2 + ... x² - x + x - 1)
On remarque que par suite, on aura en final :
(xⁿ - x^n-1 + x^n-1 - x^n-2 + ... x² - x + x - 1) = (xⁿ - 1).
Je ne suis pas très sûr de ma réponse.

b)

3) On a :
f(n⁵ ) = (n⁵ )⁴ + (n⁵ )³ + (n⁵ )² + (n⁵) + 1
f(n⁵ ) = n²⁰ + n¹⁵ + n¹⁰ + n⁵ + 1
f(n) = n⁵ (n⁴ + n³ + n² + n) + 1
Après j'sais plus quoi faire?


Exo 2 :
1. Les diviseurs de p⁴ sont p, p², p³ et p⁴ .

2 S = p + p² + p³ + p⁴

4S = 4(p + p² + p³ + p⁴)
= 4p + 4p² + 4p³ + 4p⁴ avec p > 2

De plus (2p² + p)² = 4p⁴ + 4p³ + p² avec p > 2

Et 4p + 4p² + 4p³ + 4p⁴ > 4p⁴ + 4p³ + p² avec p > 2

De même :
(2p² + p + 2)² = 4p⁴ + 4p³ + 9p² + 4p + 4
Or 4p⁴ + 4p³ + 9p² + 4p + 4 > 4p + 4p² + 4p³ + 4p⁴ avec p > 2.

On en déduit donc, l'encadrement suivant :
4p⁴ + 4p³ + p² < 4p + 4p² + 4p³ + 4p⁴ < 4p⁴ + 4p³ + 9p² + 4p + 4
<-> (2p² +p)² < 4S < (2p² + p + 2)² cqfd.

3.a)

b)

Merci beaucoup de m'aider !
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[inviteeecca5b6]

Salut,

l'énoncé n'est pas un modèle de clareté...

Toutefois pour le 2b)

on voit que 1 n'est pas solution de f(n)

On veut montrer que b divise a, sachant que a peut être écrit comme c * d et que e = c * b.

Donc si on cherche ce que donne a / b, on peut montrer que b divise a est pareil que d'avoir (c * b) divise (c * d), donc que b divise d.

[invitebd97d45d]

2.b)
1 n'est pas solution de f(n), c'est à dire?

a = ?; b = ?; c = ?; d = ?;

Je comprends pas vraiment le raisonnement?

Il ne faut pas en déduire de la question précedente (2.a) pour faire le (2.b) ?

[invite16e28998]

Bonjour,

Voici quelques éléments qui je l'espère t'aideront :
EXO1

2°) a) Ce que tu écrit est juste mais pour être plus rigoureux, tu devrait écrire tes sommes sous forme d'un sigma (somme abrégé). Ca évite l'ambiguité des trois petits points.
b) Là pour le coup, t'as du oublier de donner une ligne dans l'énoncé.
En tout cas, je comprends pas la question.

3°) En effet, tu as f(n⁵ ) = n²⁰ + n¹⁵ + n¹⁰ + n⁵ + 1
Qui plus est tu as démontré que n⁵=(n-1).f(n)+1
Or n¹⁰=n¹⁰*n¹⁰
Donc n¹⁰=n⁵*(n-1).f(n)+n⁵
et n¹⁰=f(n)(n⁵*(n-1)+(n-1)) + 1

Je te laisse continuer avec n¹⁵ et n²⁰.
Tu conclueras facilement l'exercice à partir de là.

EXO2

Attention, tu oublies que 1 est un diviseur non nul aussi...
Donc S = 1+p + p² + p3 + p4
Ensuite
3.a) Cette question n'est pas très bien posée car l'existence d'un entier a tel que S=a*a n'est pas systématique (essaies avec p=4 pex). Mais on va la supposer. S=a*a donc 4S=(2a)².
Là il faut t'inspirer de la question précédente.
Elle te suggère d'essayer de démontrer que 2a=(2p² +p+1)

3.b) Tu pars de 4S=(2p² +p+1)² et tu cherches à quelle condition sur p elle est vraie.
En la développant tu obtiens une équation du second degré en p qui est simple à résoudre.

Voilà, en espérant que ca aide.
Bon courage

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebd97d45d]

Effectivement, j'ai oublié de posté une partie de la question 2b !

La voici :
2b) En déduire que n¹⁰ -1, n¹⁵ -1, n²⁰ - 1 sont divisibles par n⁵ - 1.
Et le : "Démontrer que ces mêmes entiers sont divisibles par f(n)." vient après.

Merci beaucoup de vos aides !

[invite16e28998]

En effet, c'est plus clair comme ca.
De toute facon, ca correspond à la piste que je t'ai donné.
Au passage, j'ai écrit un moment : n¹⁰=n¹⁰*n¹⁰... Il s'agit evidemment d'une faute de frappe.
Il fallait comprendre : n¹⁰=n⁵*n⁵.

[invitebd97d45d]

Petite question :
Comment je dois écrire les sommes sous forme d'un sigma?

Pour le reste, je suis en train de réfléchir.

[invitec314d025]

Petite question :
Comment je dois écrire les sommes sous forme d'un sigma?

Comme ça :

C'est vrai que c'est pratique quand on a l'habitude et que ça permet d'être un peu plus rigoureux , mais bon ne t'embête pas non plus avec ça pour l'instant.

[invitebd97d45d]

Exo 1
n¹⁰=f(n)(n⁵*(n-1)+(n-1)) + 1
n¹⁰ - 1 = f(n)(n⁵*(n-1)+(n-1)) + 1 -1
Pas de reste, donc divisible...
Le reste j'fais pareil...


Exo 2
3.a) 4S = (2a)² avec a € N
On a donc (2p²+p)² < (2a)² < (2p²+p+2)²
p € N, avec p > 2, donc (2a)² est compris entre 2 entiers naturel
(n + 0 et n + 2),
On a donc 2a = 2p²+p+1.

3.b) 4S = (2a)² = (2p²+p+1)²
"Tu pars de 4S=(2p² +p+1)2 et tu cherches à quelle condition sur p elle est vraie. En la développant tu obtiens une équation du second degré en p qui est simple à résoudre."

Je ne comprend pas, quelle condition? Je développe quoi?

Merci encore de m'aider !

[invitebd97d45d]

Bonjour, excusez-moi de répondre si tard, mais j'vais quelques problèmes de connexion.

J'ai terminé l'exo 1, j'ai même prouver par récurrence pour le 2a avec x... et ce que j'vais fais était bon.
Cependant, le prof, n'a pas encore corrigé l'exo 2, et je suis toujours bloqué sur les questions 3.a et 3.b.
Lorsque kaya a dit :
"Tu pars de 4S=(2p² +p+1)2 et tu cherches à quelle condition sur p elle est vraie.
En la développant tu obtiens une équation du second degré en p qui est simple à résoudre."
De quelle condition voulait-il parler?

Quand il parlait de dévellopper, je dois dévellopper (2p²+p+1)² ?

Merci de m'éclairer d'avantage !