Exo Math SPE - Term S
Bonjour, j'ai un pt'it exo pour demain, vous pouvez me corriger et m'aider svp
Exo 1 : Identité remarquable et divisibilité
n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
f(n) est l'entier naturel défini par f(n)=n4 + n3 + n2 + n + 1
1.a) Vérifier que (n-1).f(n) = n5 - 1.
b) En déduire que n5 - 1 est divisible par f(n).
2.a) Démontrer que pour tout réel x,
xn - 1 = (x-1)(xn-1 + xn-2 + ... + x + 1).
Démontrer que ces mêmes entiers sont divisibles par f(n).
3) Quel est le reste dans la division de f(n5 ) par f(n).
Exo 2 : Somme des diviseurs et carré
p désigne un nombre premier supérieur à 2.
1) Donner la liste des diviseurs strictement positifs de p4 .
2) S désigne la somme de ces diviseurs strictement positifs.
Démontrer que (2p² +p)² < 4S < (2p² + p + 2)²
3.a) Démontrer que pour tout p fixé, il existe un seul entier naturel n dont S est le carré.
b) Déterminer les nombres premiers p tels que la somme des diviseurs positifs de p4 soit un carré parfait.
Alors, voici mes réponses :
1.a) On a :
f(n)= n4 + n3 + n2 + n + 1 avec n € N et n >= 2
Vérifions que :
(n-1).f(n) = n5 - 1 avec n € N et n >= 2
On a donc :
(n-1)(n4 + n3 + n2 + n + 1)
En dévellopant, on trouve bien n5 - 1.
On a bien (n-1).f(n) = n5 - 1 avec n € N et n >= 2.
b) "Si b | a alors il existe un réel k tel que a = k * b"
Ici on a :
Si f(n) divise n5 - 1, alors il existe un réel k tel que :
n5 - 1 = f(n) * k. Or k existe et est égal à (n-1).
Et on a bien montrer que (n-1).f(n) = n5 - 1 avec n € N et n >= 2.
f(n) divise donc n5 - 1.
2a) Démontrons que pour tout réel x on a :
xn - 1 = (x-1)(xn-1 + xn-2 + ... + x + 1)
On a :
(x-1)(xn-1 + xn-2 + ... + x + 1)
En dévelloppant :
(xn - xn-1 + xn-1 - xn-2 + ... x² - x + x - 1)
On remarque que par suite, on aura en final :
(xn - xn-1 + xn-1 - xn-2 + ... x² - x + x - 1) = (xn - 1).
Je ne suis pas très sûr de ma réponse.
b)
3) On a :
f(n5 ) = (n5 )4 + (n5 )3 + (n5 )2 + (n5) + 1
f(n5 ) = n20 + n15 + n10 + n5 + 1
f(n) = n5 (n4 + n3 + n2 + n) + 1
Après j'sais plus quoi faire?
Exo 2 :
1. Les diviseurs de p4 sont p, p², p3 et p4 .
2 S = p + p² + p3 + p4
4S = 4(p + p² + p3 + p4)
= 4p + 4p² + 4p3 + 4p4 avec p > 2
De plus (2p² + p)² = 4p4 + 4p3 + p² avec p > 2
Et 4p + 4p² + 4p3 + 4p4 > 4p4 + 4p3 + p² avec p > 2
De même :
(2p² + p + 2)² = 4p4 + 4p3 + 9p² + 4p + 4
Or 4p4 + 4p3 + 9p² + 4p + 4 > 4p + 4p² + 4p3 + 4p4 avec p > 2.
On en déduit donc, l'encadrement suivant :
4p4 + 4p3 + p² < 4p + 4p² + 4p3 + 4p4 < 4p4 + 4p3 + 9p² + 4p + 4
<-> (2p² +p)² < 4S < (2p² + p + 2)² cqfd.
3.a)
b)
Merci beaucoup de m'aider !
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Envoyé par Grunk 
