T°S : Bloque sur une question d'un exercice ... ( Chapitre : Complexes )

[invite122a3db2]

Bonjour,

J'ai cet exercice à faire pour demain, seulement je bloque sur la deuxième question... Voici l'énoncé, puis les ébauches de réponses que j'ai pu apporter aux questions.

111 Ensemble de points

A tout nombre complexe z(z différent de i), on associe le nombre complexe Z tel que E = (z-1+2i)/(z-i).

1) On pose z=x+iy. Determinez la partie réelle X, la partie imaginaire Y de Z en fonction de x et de y.

2) Determiner et représenter dans le plan complexe l'ensemble (E) des points M d'affixe z telle que Z soit un nombre réel.

3) Determiner et représenter dans le plan complexe l'ensemble (F) des points M d'affixe z telle que Z soit un nombre imaginaire pur.

4) On note A le point d'affixe 1-2i et B le point d'affixe i.
Interprêter géométriquement l'argument de Z et retrouver les résultats des questions 2) et 3).

1) Donc ici, je remplace simplement z par x+iy dans Z, puis après calculs et simplification, je trouve : Z = [ x(x-1) + y(y+1) - 2 + i(3x+y-1) ] / [ x² + y(y-2) + 1 ]

On a donc : X = [ x(x-1) + y(y+1) - 2 ] / [ x² + y(y-2) + 1 ]

et Y = i(3x+y-1) / [ x² + y(y-2) + 1 ]

J'ai revérifier mes calculs, je pense que pour l'instant c'est juste ! (du moins je l'espère)

2) Z est réel ssi Y = 0. Donc si l'équation : (3x + y - 1) / [ x² + y(y-2) + 1 ] = 0, qui implique :
* 3x + y - 1 = 0
et
* [ x² + y(y-2) + 1 ] différent de 0.

C'est ici que je bloque... Je ne voie pas par ou commencer pour résoudre cette équation.. Je solliscite onc votre aide pour me donner des pistes, une démarche à suivre pour que je puisse enfin résoudre ce problème.

La question 3) ne sera plus un mystère la 2) résolue, puisque la démarche est la même sauf que ce sera X = 0.

La 4), je verrai bien la 2) et 3) accomplie

Merci beaucoup, bonne journée !
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[inviteb85b19ce]

Bonjour,

Tu te poses beaucoup de problème pour rien

Quel ensemble a pour équation cartésienne y = 1 - 3x ?
À cet ensemble, il faudra enlever un point particulier solution de x² + y(y-2) + 1 = 0, équation que tu peux écrire aussi : x² + (y-1)² = 0 ...

[g_h]

Salut,

Une autre façon de faire, très classique en TS :

Tu poses A le point d'affixe 1-2i, et B d'affixe i

Tu te retrouves avec :
(z-1+2i)/(z-i) est réel ssi
(avec z différent de zb)
ou
(car 0 est réel et arg(0) n'est pas défini)

Si on commence par 1, ça donne :

Ce qui équivaut à, pour M d'affixe z :
(M différent de B, car z différent de zb, et différent de A, cas traité avec (2))
L'ensemble des points M vérifiant ceci est ..... (je te laisse chercher)

De même, en résolvant (2) (beaucoup plus facile), tu trouves 1 point.

Ton ensemble E est la réunion des points trouvés avec (1) et du point trouvé avec (2).

[invite122a3db2]

Oulah, je cherchais du compliqué dans du facile la...

Merci Odie et g_h ! J'opterais plutôt pour la méthode d'Odie, car en employant ta méthode ( g_h ), je dois utiliser des données de la question 4) que je n'ai pas encore traitée...

Merci encore, bonne jouréne à vous

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite122a3db2]

Je pensais réussir à me débrouiller une fois la question 2) passée ( et encore, cela n'est pas le cas.. ) et je suis de nouveau face à une impasse.

Pour la question 2), en fait, comme nous l'avions vu plus haut , je trouve comme ensemble (E) la droite d'équation y = -3x +1 privée du point de coordonnées (0;1). Elle est donc "terminée", selement d'une part je ne suis pas sur du resultat, mais surtout je trouve une incohérence lors de la représentation de cet ensemble sur un graphique. En effet, j'ai toujours appris qu'une fonction de la forme ax+b dite "affine" était caractérisée par son coefficient directeur "a" et par son ordonnée à l'origine "b". Dans mon cas, j'aurai donc tendance à faire passer cette droite y=-3x+1 par le point de coordonnées (0;1), mais lorsque je vérifie le tracé sur ma calculette il y a contradiction.. Rassurez moi c'est la calculatrice qui bug?

Enfin, pour la question 3), j'en suis à :
x(x-1) + y(y+1) -2 = 0 et x² + (y-1)² différent de 0.
La aussi, j'ai essayé de voir la dedans des trinômes du second degré etc.. sans résultat.. Quelqu'un est-il à nouveau prêt à m'offrir le fil conducteur ?

[invitebb921944]

Dans mon cas, j'aurai donc tendance à faire passer cette droite y=-3x+1 par le point de coordonnées (0;1), mais lorsque je vérifie le tracé sur ma calculette il y a contradiction.. Rassurez moi c'est la calculatrice qui bug?

L'erreur est rarement informatique...
Tu as du mal entrer ton équation ou quelque chose comme ça.
Sinon effectivement, quand je remplace x par 0, j'obtiens y=1.
Ta droite passe donc par le point (0,1).

[matthias]

Enfin, pour la question 3), j'en suis à :
x(x-1) + y(y+1) -2 = 0 et x² + (y-1)² différent de 0.
La aussi, j'ai essayé de voir la dedans des trinômes du second degré etc.. sans résultat.. Quelqu'un est-il à nouveau prêt à m'offrir le fil conducteur ?

Je n'ai pas regardé les premières questions donc je ne réponds qu'à ça.
Pour la première, ça ne te rappelle pas une équation de cercle ? A toi de transformer l'équation pour vérifier.
Pour la deuxième, tu as une somme de carrés, regarde dans quel cas elle est nulle. Les solutions ce sont les autres cas