exo de spé math
salut j'ai besoin d'aide pr cet exercice.
1/trouver suivant les valeurs de l'entier naturel n,le reste de la division de 3^n par 11.
2/en déduire,suivant la valeur du naturel m,les restes de la division euclidienne par 11 des nombres:
A=1978^m
B=421^5m+421^4m+421^3m+421^2m+ 421^m
on distinguera 5 cas selon la valeur du reste de la division euclidienne de m par 5.
svp aidez moi. Merci d'avance de votre aide.
Bonjour,
Etudie les restes des puissance successives de 3 par 11.
[11]
Tu devrais voir un cycle s'amorcer...
merci de ton aide ps après qd le cycle que dois-je faire? STP
Bonjour !
Quand tu auras trouvé la périodicité, fais un petit coucou avec tout plein d'informations sur ta trouvaille !
comment dois-je faire pour trouver la périodicité?svp
donc voila une explication :Envoyé par armor92
Bonjour,
Etudie les restes des puissance successives de 3 par 11.
Tu devrais voir un cycle s'amorcer...
tien voila une periode 1-3-9-5-4 et apres ca recommance .....
tu devrai ti retrouver facilement apres ca
je ne vois pas le rapport ac la kestion 1?
Le reste de la division de 3^n par 11 c'est le nombre à quoi est congru 3^n modulo 11. Ok ?
Tu donnes plusieurs valeurs à n et tu tombes sur une certaine périodicité.
Tu peux en déduire un cycle, une certaine valeur de n pour que 3^n soit congru à 1 modulo 11.
Après, pour que 3^n soit congru à 3 puis 9, 5 et 4 modulo 11.
est ce qu'une personne pourait m'aider pour le 2/. merci d avance de votre aide.
T'as compris la méthode pour la 1er question ?
Ben là tu fais pareil sauf qu'il faut se ramener à quelque chose de plus petit que 1798.
(a+n)^b est congruent à a^b modulo n (facile à démontrer, en développant (a+n)^b) avec a, n et b entiers positifs.
Quel nombre de 0 à 10 est congruent à 1798 modulo 11 ?
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
dsl ms je ne comprend ce ke tu veux me dire.
Pour commencer tu peux simplifier : 1798 est congrus à 5modulo 11 car 1798 = 163 X 11 + 5
Ensuite tu fais la meme chose que pour le premier exo ... !
oui mais après simplifier cmt dois-je faire?svp
Que ne comprends-tu pas exactement ? connais-tu la relation de congruence ?
a est congruent à b modulo m si et seulement si a-b est multiple de m. Par exemple, 7 est congruent à 4 modulo 3.
a^b veut dire "a puissance b" (je n'ai pas encore le Latex dans la peau)
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
oui cela veut dire sa
(a+mn)^b est congruent à a^b modulo n car : (a, b, m, n entiers positifs)
En développant (a+mn)^b, tu obtiens un polynôme dont tous les membres sont multiples de n sauf le dernier. Donc, la différence entre (a+mn)^b et a^b est la somme de tous ces termes qui sont multiples de n. Cette somme, qui est la différence entre (a+mn)^b et a^b, est donc elle-même multiple de n. Donc (a+mn)^b et a^b sont congruents l'un à l'autre modulo n (= ont même reste si divisés tous deux euclidiennement par n).
Et donc, c'est le cas pour l'exemple où 1978 = a+mn avec a = 9, m = 179 et n = 11.
Donc les restes de la division de 1978^s par 11 seront respectivement les mêmes que les restes de la division de 9^s par 11, ce qui est plus facile à calculer car 9 est plus petit.
Pour le B, tu fais de même avec 421^m. Puis, en fonction du reste de la division de 421^m par 11, tu calcules les restes respectifs des divisions de 421^sm par 11.
Tu peux également essayer de factoriser B autant que possible.
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
