DM de spé math

[invite8d59d24b]

bonjour a tous voila je bloque depui 3-4jour sur un DM de spé math que je doit rendre jeudi

énoncé:
Soit n un entier strictement supérieur à 1
On se propose de determiner tous les couples (p;q) d'élement de N tels que :
1/p + 1/q = 1/n

a) montrez que,si le couple (p;q) est solution alors :
p> n et q>n

b)On pose : u=p-n et v=q-n. Montrer que le couple (p;q) est une solution de l'équation si, et seulement si, uv=n²

c)En déduire que les couples solutions de sont les couples de la formule (n+u ; n+v), ou u et v sont tous les naturels tels que uv=n²

d)Si n² a d diviseur dans N, donner le nombre de solution de cette équation

e) Résoudre alors l'équation: 1/p + 1/q = 1/6


SVP aidez moi je comprend rien du tous je vois vraiment pas comment on peut faire pour résoudre cet exercice

Je vous remerci d'avance merci
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[invitec319b80e]

Bonjour,
je vais essayer de répondre, mais vérifie tout de même !!

Pour la première question, puisque les trois nombres p, q et n sont des entiers naturels, donc supérieurs à zéro

1/p + 1/q > 1/p
donc 1/n > 1/p
donc p > n. idem pour q

pour la question b:
p = u + n et q = v + n

1/p + 1/q = 1/n
1/(u+n) + 1/(v + n) = 1/n
en réduisant au même dénominateur
(u + v + 2n)/((u+n)(v+n)) = 1/n
produit en croix
(u+v+2n)*n = (u+n)(v+n)
un + vn + 2n² = uv + un + nv + n²
en éliminant les mêmes termes et en regroupant les n²
n² = uv


pour la question d je crois qu'il y a un piège, en effet, n² a un nombre impair de diviseurs par exemple, les diviseurs de 16 sont : 1/2/4/8/16 donc 5 diviseurs et on peut former : 3 couples tels que uv = 16

donc si d diviseurs, d est impair, ajoute donc 1, divise par deux et ça te donne le nombre de couples solutions, faudrait essayer avec plusieurs nombres.


pour l'équation 1/p + 1/q = 1/6

les couples diviseurs (u,v) sont (1;36) ( 2;18) (3;12) (4;9) (6;6)
et comme p = u+n et q = v+n, les couples (p;q) correspondants sont
(7;42) (8;24) (9;18) (10;15) (12;12)

Voilà, encore une fois, vérifie bien tout ça, il y a peut être des coquilles !!

[invite8d59d24b]

oua jallucine et moi ki bloké alor ken fet a ce ke je voi sa a pa lair si dur mai jcomprené pas commen faire

MERCI par contre pour la e je n'ai pa tré bien compri!!!

[Duke Alchemist]

oua jallucine et moi ki bloké alor ken fet a ce ke je voi sa a pa lair si dur mai jcomprené pas commen faire

MERCI par contre pour la e je n'ai pa tré bien compri!!!

Fé gaf lé SMS son pa toléré

Sinon goyo t'a tout bien expliqué... il faut utiliser ce qui a été fait avant

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8d59d24b]

d'accord merci pour m'avoir prévenu pour les SMS

et encore merci a goyo pour cet aide qui m'est très précieuse