Exo de spé sur les nombres premiers

[invite85d09bae]

Bonjour à tous!
J'ai un exercice aussi classique qu'original mais surtout très bizarre. J'arrive pas à faire la dernière question :
1)Montrer l'identité dite "de Sophie-Germain" : n⁴+4m⁴ = (n²+2m²+2mn)(n²+2m²-2mn)

2) Pour quelles valeurs de n, n⁴+4 est-il premier?

3) (pas de rapport avec la question 2, enfin je pense) A l'aide de l'égalité de Sophie-Germain, montrer que 4⁵⁴⁵ + 545⁴ n'est pas un nombre premier.

Voilà la dernière question, j'y arrive pas.
Si vous trouvez la réponse, expliquez moi please, et même si vous n'utilisez pas l'identité de Sophie germain.
Merci.
-----

[invite787dfb08]

Remarque :

4^545 + 545^4 peut s'écrire :
(4^136)^4)*4 + 545^4 qui est de la forme 4m^4 + n^4

Ceci étant vu, plus de problème en utilisant les questions précédentes...

[invite05d0a348]

j'aimerais bien savoir comment tu as fait pour la 2eme question ...

[invite85d09bae]

Woow! merci Galaxie mais justement comment t'as fait pour trouver 4⁵⁴⁵ = 4 * (4¹³⁶⁴) ??? c'est sûr qu'il fallait arriver à un truc de cette forme au final, mais où est-ce que t'es allé chercher ca? merci d'avance.


mystik pour la question 2 t'as m =1, tu remplaces dans la factorisation, le nombre sera alors premier si et seulement si l'un des 2 facteurs = 1 ou ce nombre lui-même.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

A aprtir du moment où le second terme n'est visiblement pas de la forme 4 m^4, c'est que c'est le premier.

[invite85d09bae]

Merci j'ai trouvé, je n'y avais pas pensé , 4⁵⁴⁵ = 4 * 4⁵⁴⁴.

[invite787dfb08]

Ba c'est une méthode qui consiste à bidouiller pour essayer d'arriver à ce que l'on veut

[invite5fa78151]

La suite logique de tous nombres premiers

5 façons de faire une suite logique

en sachant que 1-2-3 se suivent
et que 2 et 3 sont des nombres premiers

1- Pour vérifier, si un nombre est un nombre premier

Npremier + 2 = P
P2 – N2 = A
A/24 = F
N est égal ou supérieur à 5 et doit être un nombre premier

F ne doit avoir aucune décimale pour que P soit un nombre premier.

P ne doit pas être égale au multiple d’un nombre premier déjà trouvé. En commençant avec tous les carrés de chaque nombre premier à partir du 5 multiplié par tous les nombres premiers suivants, trouvé par la suite logique.

EX : 5*5=25 , 5*7=35… ; 7*7=49 , 7*11=77…..

Voir tableau à la fin

Si P n ‘est pas un nombre premier, recommencer en ajoutant 2 à (N + 2)

Départ :
N P A F
5 7 24 1
7 11 72 3
11 13 48 2
13 17 120 5
17 19 72 3
19 23 168 7
23 29 312 13
29 31 120 5
31 37 408 17
37 41 312 13
41 43 168 7
43 47 360 15
47 53 600 25
53 59 672 28
Ainsi de suite………

2- À partir d’une suite de nombre logique

nous pouvons trouver la suite des nombres premiers. Par contre, cette suite contient des exceptions. Ces exceptions sont les multiples des nombres premiers multipliés entre eux en commençant par le 5, et les suivant, en augmentant.

EX : 5*5=25 , 5*7=35… ; 7*7=49 , 7*11=77…..
11*11=121 , 11*13=143……

Voir tableau à la fin

Suite de nombre logique :

1+1+2+1+2+1+2+1+2+1+2………….

Multiplier par 2 et +3

suite *2 +3
1 2 5
2 4 7
4 8 11
5 10 13
7 14 17
8 16 19
10 20 23
11 22 25
13 26 29
14 28 31
16 32 35
17 34 37
19 38 41
20 40 43
22 44 47
23 46 49
25 50 53
26 52 55
28 56 59
29 58 61
Ainsi de suite

Enlever les multiples des nombres premiers en commençant par le carré de 5 multiplié par tous les nombres premiers trouvés par la suite.

Et vous aurez tous les vrais nombres premiers jusqu'à l’infini.

3- En utilisant une double suite logique :

Suite 1 : 1+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2…………..
1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1………….

Et en additionnant une autre suite logique qui servira pour calculer le reste de la formule :

Suite 2 0+0+2+0+2+0+2+0+2+0+2+0………….
Ex : 1+0+0=1, 1+1+2=4, 2+4+0=6, 3+6+2=11…….

En les combinant, on trouve tous les nombres premiers, Par contre, cette suite contient des exceptions. Ces exceptions sont les multiples des nombres premiers multipliés entre eux en commençant par le 5, et les suivant, en augmentant. Trouvé par la suite logique.

EX : 5*5=25 , 5*7=35… ; 7*7=49 , 7*11=77…..
11*11=121 , 11*13=143……

Voir tableau à la fin

Suite 1 suite 2 *24 +25 racine carré
1 0 0 25 5
1 1 24 49 7
2 4 96 121 11
3 6 144 169 13
3 11 264 289 17
5 14 336 361 19
4 21 504 529 23
7 25 600 625 25
5 34 816 841 29
9 39 936 961 31
6 50 1200 1225 35
11 56 1344 1369 37
7 69 1656 1681 41
13 76 1824 1849 43
8 91 2184 2209 47
15 99 2376 2401 49
9 116 2784 2809 53
17 125 3000 3025 55
10 144 3456 3481 59
19 154 3696 3721 61
11 175 4200 4225 65
21 186 4464 4489 67
12 209 5016 5041 71
23 221 5304 5329 73
13 246 5904 5929 77
25 259 6216 6241 79
14 286 6864 6889 83
27 300 7200 7225 85

Ainsi de suite


Enlever tous les multiples des nombres premiers en commençant par le carré de 5 multiplié par tous les nombres premiers suivant. Et vous aurez tous les vrais nombres premiers jusqu'à l’infini. Trouvé par la suite logique.



4- En utilisant une suite logique

entre (5 et 25) exclu.
Exclu la suite du chiffre 15
en additionnant 20 et 40
on pourrait fabriquer un cercle divisé par 20 heures

Ex :
5+20=25+40=65+20=85…….exclu. multiple de 5
7+40=47+20=67+40=107…….
9+20=29+20=49+40=89+20=109+40= 149……..
11+20=31+40=71+20=91……..
13+40=53+20=73+40=113……….
15+20=35+20=55+20=75……exclu multiple de 5
17+20=37+40=77+20=97……..
19+40=59+20=79+40=119……
21+20=41+20=61=40=101+20=121…… …
23+20=43+40=83+20=103………

Ensuite enlever les exceptions. Il s’agit des multiples des nombres premiers débutant par 7 multiplié par tous les nombres premiers suivant.

7 9 11 13 17 19 21 23
47 29 31 53 37 59 41 43
67 49 71 73 77 79 61 83
107 89 91 113 97 119 101 103
127 109 131 133 137 139 121 143
167 149 151 173 157 179 161 163
187 169 191 193 197 199 181 203
227 209 211 233 217 239 221 223
247 229 251 253 257 259 241 263
287 269 271 293 277 299 281 283
307 289 311 313 317 319 301 323
347 329 331 353 337 359 341 343
367 349 371 373 377 379 361 383
407 389 391 413 397 419 401 403
427 409 431 433 437 439 421 443
467 449 451 473 457 479 461 463
487 469 491 493 497 499 481 503
527 509 511 533 517 539 521 523
547 529 551 553 557 559 541 563
587 569 571 593 577 599 581 583
607 589 611 613 617 619 601 623


5 - En utilisant une suite logique

entre (1 et 9) inclu
Exclu la suite du chiffre 5
en additionnant 10 et 20
on pourrait fabriquer un cercle divisé par 10 heures




Ex :
1+10=11+20=31+10=41+20=61=10=7 1……
3+10=13+10=23+20=43+10=53+20=7 3…..
5+20=25+10=35+20=55+10=65+20=8 5……exclu, multiple de 5
7+10=17+20=37+10=47+20=67+10=7 7…..
9+10=19+10=29+20=49+10=59+20=7 9…..

Par la suite, enlever les exceptions. Il s’agit des multiples des nombres premiers débutant par 7 multiplié par tous les nombres premiers suivant.

1 3 5 7 9
11 13 25 17 19
31 23 35 37 29
41 43 55 47 49
61 53 65 67 59
71 73 85 77 79
91 83 95 97 89
101 103 115 107 109
121 113 125 127 119
131 133 145 137 139
151 143 155 157 149
161 163 175 167 169
181 173 185 187 179
191 193 205 197 199
211 203 215 217 209
221 223 235 227 229
241 233 245 247 239
251 253 265 257 259
271 263 275 277 269
281 283 295 287 289
301 293 305 307 299
311 313 325 317 319
331 323 335 337 329
341 343 355 347 349
361 353 365 367 359
371 373 385 377 379
391 383 395 397 389
401 403 415 407 409

EXCEPTIONS

Exception que vous devez enlever pour trouver la suite de tous les nombres premiers de 5 jusqu'à l’infini. Ils comprennent les multiples des nombres exceptions.

5*5=25 7*7=49 11*11=121 13*13=169 17*17=289
5*7=35 7*11=77 11*13=143 13*17=221 17*19=323
5*11=55 7*13=91 11*17=187 13*19=247 17*23=391
5*13=65 7*17=119 11*19=209 13*23=299 17*25=493
5*17=85 7*19=133 11*23=253 13*25=325 17*29=493
5*19=95 7*23=161 11*25=275 13*29=377 17*31=527
5*23=115 7*25=175 11*29=319 13*31=403 17*35=595
5*25=125 7*29=203 11*31=341 13*35=455 17*37=629
5*29=145 7*31=217 11*35=385 13*37=481 17*41=697
AINSI DE SUITE

Ce que nous devons chercher est une suite logique des exceptions, que l’on doit enlever des 5 suites logique existante. Pour trouver plus facilement les nombres premiers.

J’ai essayé les 5 formules. J’ai trouvé tous les nombre premier jusqu'à 1000000. J’ai vérifié avec une liste officiel sur un site internet Mes nombres trouvé sont identique à cette suite.

Donc mes 5 formules sont bonnes.

Ils faudrait les essayer avec un super calculateur pour les vérifier jusqu'à l’infini

Gérald Simard
30 Taché
Baie-Comeau
G4Z 1V9
418-296-0143
ge.simard@cgocable.ca

[invite5fa78151]

La suite logique de tous nombres premiers

5 façons de faire une suite logique

en sachant que 1-2-3 se suivent
et que 2 et 3 sont des nombres premiers

1- Pour vérifier, si un nombre est un nombre premier

Npremier + 2 = P
P2 – N2 = A
A/24 = F
N est égal ou supérieur à 5 et doit être un nombre premier

F ne doit avoir aucune décimale pour que P soit un nombre premier.

P ne doit pas être égale au multiple d’un nombre premier déjà trouvé. En commençant avec tous les carrés de chaque nombre premier à partir du 5 multiplié par tous les nombres premiers suivants, trouvé par la suite logique.

EX : 5*5=25 , 5*7=35… ; 7*7=49 , 7*11=77…..

Voir tableau à la fin

Si P n ‘est pas un nombre premier, recommencer en ajoutant 2 à (N + 2)

Départ :
N P A F
5 7 24 1
7 11 72 3
11 13 48 2
13 17 120 5
17 19 72 3
19 23 168 7
23 29 312 13
29 31 120 5
31 37 408 17
37 41 312 13
41 43 168 7
43 47 360 15
47 53 600 25
53 59 672 28
Ainsi de suite………

2- À partir d’une suite de nombre logique

nous pouvons trouver la suite des nombres premiers. Par contre, cette suite contient des exceptions. Ces exceptions sont les multiples des nombres premiers multipliés entre eux en commençant par le 5, et les suivant, en augmentant.

EX : 5*5=25 , 5*7=35… ; 7*7=49 , 7*11=77…..
11*11=121 , 11*13=143……

Voir tableau à la fin

Suite de nombre logique :

1+1+2+1+2+1+2+1+2+1+2………….

Multiplier par 2 et +3

suite *2 +3
1 2 5
2 4 7
4 8 11
5 10 13
7 14 17
8 16 19
10 20 23
11 22 25
13 26 29
14 28 31
16 32 35
17 34 37
19 38 41
20 40 43
22 44 47
23 46 49
25 50 53
26 52 55
28 56 59
29 58 61
Ainsi de suite

Enlever les multiples des nombres premiers en commençant par le carré de 5 multiplié par tous les nombres premiers trouvés par la suite.

Et vous aurez tous les vrais nombres premiers jusqu'à l’infini.

3- En utilisant une double suite logique :

Suite 1 : 1+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2…………..
1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1………….

Et en additionnant une autre suite logique qui servira pour calculer le reste de la formule :

Suite 2 0+0+2+0+2+0+2+0+2+0+2+0………….
Ex : 1+0+0=1, 1+1+2=4, 2+4+0=6, 3+6+2=11…….

En les combinant, on trouve tous les nombres premiers, Par contre, cette suite contient des exceptions. Ces exceptions sont les multiples des nombres premiers multipliés entre eux en commençant par le 5, et les suivant, en augmentant. Trouvé par la suite logique.

EX : 5*5=25 , 5*7=35… ; 7*7=49 , 7*11=77…..
11*11=121 , 11*13=143……

Voir tableau à la fin

Suite 1 suite 2 *24 +25 racine carré
1 0 0 25 5
1 1 24 49 7
2 4 96 121 11
3 6 144 169 13
3 11 264 289 17
5 14 336 361 19
4 21 504 529 23
7 25 600 625 25
5 34 816 841 29
9 39 936 961 31
6 50 1200 1225 35
11 56 1344 1369 37
7 69 1656 1681 41
13 76 1824 1849 43
8 91 2184 2209 47
15 99 2376 2401 49
9 116 2784 2809 53
17 125 3000 3025 55
10 144 3456 3481 59
19 154 3696 3721 61
11 175 4200 4225 65
21 186 4464 4489 67
12 209 5016 5041 71
23 221 5304 5329 73
13 246 5904 5929 77
25 259 6216 6241 79
14 286 6864 6889 83
27 300 7200 7225 85

Ainsi de suite


Enlever tous les multiples des nombres premiers en commençant par le carré de 5 multiplié par tous les nombres premiers suivant. Et vous aurez tous les vrais nombres premiers jusqu'à l’infini. Trouvé par la suite logique.



4- En utilisant une suite logique

entre (5 et 25) exclu.
Exclu la suite du chiffre 15
en additionnant 20 et 40
on pourrait fabriquer un cercle divisé par 20 heures

Ex :
5+20=25+40=65+20=85…….exclu. multiple de 5
7+40=47+20=67+40=107…….
9+20=29+20=49+40=89+20=109+40= 149……..
11+20=31+40=71+20=91……..
13+40=53+20=73+40=113……….
15+20=35+20=55+20=75……exclu multiple de 5
17+20=37+40=77+20=97……..
19+40=59+20=79+40=119……
21+20=41+20=61=40=101+20=121…… …
23+20=43+40=83+20=103………

Ensuite enlever les exceptions. Il s’agit des multiples des nombres premiers débutant par 7 multiplié par tous les nombres premiers suivant.

7 9 11 13 17 19 21 23
47 29 31 53 37 59 41 43
67 49 71 73 77 79 61 83
107 89 91 113 97 119 101 103
127 109 131 133 137 139 121 143
167 149 151 173 157 179 161 163
187 169 191 193 197 199 181 203
227 209 211 233 217 239 221 223
247 229 251 253 257 259 241 263
287 269 271 293 277 299 281 283
307 289 311 313 317 319 301 323
347 329 331 353 337 359 341 343
367 349 371 373 377 379 361 383
407 389 391 413 397 419 401 403
427 409 431 433 437 439 421 443
467 449 451 473 457 479 461 463
487 469 491 493 497 499 481 503
527 509 511 533 517 539 521 523
547 529 551 553 557 559 541 563
587 569 571 593 577 599 581 583
607 589 611 613 617 619 601 623


5 - En utilisant une suite logique

entre (1 et 9) inclu
Exclu la suite du chiffre 5
en additionnant 10 et 20
on pourrait fabriquer un cercle divisé par 10 heures




Ex :
1+10=11+20=31+10=41+20=61=10=7 1……
3+10=13+10=23+20=43+10=53+20=7 3…..
5+20=25+10=35+20=55+10=65+20=8 5……exclu, multiple de 5
7+10=17+20=37+10=47+20=67+10=7 7…..
9+10=19+10=29+20=49+10=59+20=7 9…..

Par la suite, enlever les exceptions. Il s’agit des multiples des nombres premiers débutant par 7 multiplié par tous les nombres premiers suivant.

1 3 5 7 9
11 13 25 17 19
31 23 35 37 29
41 43 55 47 49
61 53 65 67 59
71 73 85 77 79
91 83 95 97 89
101 103 115 107 109
121 113 125 127 119
131 133 145 137 139
151 143 155 157 149
161 163 175 167 169
181 173 185 187 179
191 193 205 197 199
211 203 215 217 209
221 223 235 227 229
241 233 245 247 239
251 253 265 257 259
271 263 275 277 269
281 283 295 287 289
301 293 305 307 299
311 313 325 317 319
331 323 335 337 329
341 343 355 347 349
361 353 365 367 359
371 373 385 377 379
391 383 395 397 389
401 403 415 407 409

EXCEPTIONS

Exception que vous devez enlever pour trouver la suite de tous les nombres premiers de 5 jusqu'à l’infini. Ils comprennent les multiples des nombres exceptions.

5*5=25 7*7=49 11*11=121 13*13=169 17*17=289
5*7=35 7*11=77 11*13=143 13*17=221 17*19=323
5*11=55 7*13=91 11*17=187 13*19=247 17*23=391
5*13=65 7*17=119 11*19=209 13*23=299 17*25=493
5*17=85 7*19=133 11*23=253 13*25=325 17*29=493
5*19=95 7*23=161 11*25=275 13*29=377 17*31=527
5*23=115 7*25=175 11*29=319 13*31=403 17*35=595
5*25=125 7*29=203 11*31=341 13*35=455 17*37=629
5*29=145 7*31=217 11*35=385 13*37=481 17*41=697
AINSI DE SUITE

Ce que nous devons chercher est une suite logique des exceptions, que l’on doit enlever des 5 suites logique existante. Pour trouver plus facilement les nombres premiers.

J’ai essayé les 5 formules. J’ai trouvé tous les nombre premier jusqu'à 1000000. J’ai vérifié avec une liste officiel sur un site internet Mes nombres trouvé sont identique à cette suite.

Donc mes 5 formules sont bonnes.

Ils faudrait les essayer avec un super calculateur pour les vérifier jusqu'à l’infini

[invite787dfb08]

Merci j'ai trouvé, je n'y avais pas pensé , 4⁵⁴⁵ = 4 * 4⁵⁴⁴.

Propriété sur les puissances : x^ax^b=x^a+b...