Résolution d'un problème à l'aide de l'axiome de récurence

[invite610c3c06]

Bonjour,

Mon problème est le suivant :

Pour n supérieur à 6, prouver à l'aide de l'axiome de récurrence que :
2 ⁿ >= ( n + 2 ) ²

J'ai essayé de nombreuses pistes mais je coince. Pourriez-vous me donner une piste correcte à suivre ?
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[invitead11e21d]

Salut bamboum,

Pour démontrer par récurence tu dois :

==> initialiser ta proposition, dans ton cas tu prouve que pour tout n>= 6 2^n >= (n+2)²
a ce moment la tu admet que ta proposition est vrai pour tout n>= 6. et tu démontre n+1 (récurence)

et a la fin tu conclue,

Voila

[Médiat]

==> initialiser ta proposition, dans ton cas tu prouve que pour tout n>= 6 2^n >= (n+2)²

C'est plutôt n = 6 => 2ⁿ >= (n+2)²

[invite610c3c06]

Ça merci bien, j'avais compris comment fonctionne l'axiome. Ce que je n'arrive pas c'est à prouver que la situation est vraie pour n+1 ! Vous avez une idée ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

2^(n+1) > 2(n+2)² = 2n²+8n+8 = n²+6n+9+n²+2n-1=(n+3)²+n²+2n-1
Or, n²+2n-1 est positif, donc 2^(n+1) > (n+3)²

Mais il doit y avoir plus simple et élégant...

[invite610c3c06]

Merci beaucoup