Problème de récurence...

[invitec64205bd]

Bonjour!

J'ai un dm que j'ai commencé mais je bloque certaine question, pouvez-vous m'aider? No

Enoncé:

Soit la suite (Un) définie sur N* par:


1/ Calculer la valeur approchée à 10 puissance -3 près par défaut de U1, U2 et U3.
2/ Montrer que si n est strictement positif, alors:
1_<p_<2n => n_< (V n²+p)_< n+1
3/En dédiure que (2n)/(n+1)_<Un_<2.
Montrer que la suite (Un) converge. Quelle est sa limite?
4/Montrer qu'il existe un entier p tel que:
n>p => [Un-2]<10 puissance -3 []représente la valeur absolue.

Et trouver p.


J'ai essayé de répondre à la 1ère question, mais je ne suis pas sûr au niveau de l'écriture:
U1 = 1/V2 + 1/V3 = (3V2 + 2V3)/6 # 1,28
U2=U2=(1/V(2)²+1)+(1/V(2)²+2)
=(1/2V1)+(1/2V2)
=(2V2+2V1)/(4V2)
#0, 853

U3=(1/V(3)²+1)+(1/V(3)²+2)
= (1/10)+(1/11)
=(1/5)+(1/5V1)
=(5+5V1)/(25V1)

#0,4

Est-ce que c'est bon?

Pour la 2 je n'arrive pas faireà un raisonnement par récurrence pouvez-vous m'aider pale

Svp
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[Duke Alchemist]

Bonjour.

1/ Calculer la valeur approchée à 10^-3 près par défaut de U1, U2 et U3.

J'ai essayé de répondre à la 1ère question, mais je ne suis pas sûr au niveau de l'écriture:
U1 = 1/V2 + 1/V3 = (3V2 + 2V3)/6 # 1,28
U2=U2=(1/V(2)²+1)+(1/V(2)²+2)
=(1/2V1)+(1/2V2)
=(2V2+2V1)/(4V2)
#0, 853

U3=(1/V(3)²+1)+(1/V(3)²+2)
= (1/10)+(1/11)
=(1/5)+(1/5V1)
=(5+5V1)/(25V1)

#0,4

Est-ce que c'est bon?

Pas tous
Tu as oublié que l'indice de fin de ta somme était fonction de n !
à 10^-3 près.

Après ça se gâte un peu :

car la somme est pour les indices k allant de 1 à 2n=4 !

même principe pour U₃ où tu vas jusque 6...

2/ Montrer que si n est strictement positif, alors:
1_<p_<2n => n_< (V n²+p)_< n+1

Nul besoin de récurrence ici.
tu pars de 1<p<2n
tu ajoutes n² dans chaque membre
tu agrandis davantage ton encadrement (en "ajoutant" ou en "supprimant" des 1)
puis tu prends la racine carrée de chaque expression.

Fais déjà ça et essaye de poursuivre un peu.

See ya.
Duke.

[invitec64205bd]

Merci pour ton aide.
Je vais poursuivre l'exercice...
Je te tiens au courant de la suite des evenements, Merci

[invitec64205bd]

Hello,
J'ai essayé:

1) U1 = 1/V2 + 1/V3 = (3V2 + 2V3)/6 # 1,28
U2 = 1/V(4+1) + 1/V(4+2) + 1/V(4+3) + 1/V(4+4) # 1,59

U3 = 1/V(9+1) + 1/V(9+2) + ... + 1/V(9+6) # 1,71

2) 1 =< p =< 2n
n²+1 =< n²+p =< n²+2n
or n² =< n²+1 et n²+2n =< n²+2n+1, donc :
n² =< n²+1 =< n²+p =< n²+2n =< n²+2n+1
A partir de là, je n'écris plus n²+1 et n²+2n
n² =< n²+p =< n²+2n+1
n² =< n²+p =< (n+1)² factorisation
n =< V(n²+p) =< n+1

3)On sait que np2n

Et que on a trouvé (dans la question2) n_<n²+p_<n+1

n_<n²+p_<n+1

1/n_<1/n²+p_<1/n+1

Or 1/n_>1/(n+1)

1/n_>1/n²+p_>n+1

Est ce qu'on multiplie par 2? pour obtenir (2n)/(n+1)_<Un_<2.?

comment montrer que la suite (Un) converge et sa limite?

4/ Je ne sais pas comment faire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Duke Alchemist]

Bonjour.

n<n²+p<n+1

1/n<1/n²+p<1/n+1

Or 1/n_>1/(n+1)

1/n_>1/n²+p_>n+1

Oups !... quand tu prends l'inverse, les signes des inégalités changent de sens... Il ne faut pas essayer d'"arnaquer" en bidouillant comme tu l'as fait avec ta troisième ligne
Réécris les étapes sans essayer de tromper ( ) le correcteur.

Est ce qu'on multiplie par 2? pour obtenir (2n)/(n+1)_<Un_<2.?

Tu multiplies par le nombre de termes de U_n soit 2n en effet.

Duke.