Récurence en TS

[invite9442a913]

Ia ora na!!

à tahiti nous sommes en vacances et j'ai un super DM de maths pr profité de ces vacances.
Mais je ne vous poserez des question que lorsque je suis bloquée ou pr vérifier...je souhaiterai qd même le faire ce DM

alrs je ne poserai des question qu'au fur et à mesure que j'avancerai ds mon dm..voici la première:

On considère les deux suites à termes strictement positifs (U_n) et (V_n) définies pour tt entier n>ou=1 par:

U_n= (1*3*5*...*(2n-1)) / (2*4*6*...*2n)

V_n=(2*4*6*...*2n) / (3*5*...*(2n+1))

On se propose ici de démontrer que ces deux suites sont convergentes vers 0

1) Démontrer que la suite (U_n) est décroissante et en déduire qu'elle converge vers un réel l

Ma réponse!:

Je pose:
U_n+1) = (1*3*5*...*(2(n+1)-1)) / (2*4*6*...*(2(n+1)))
= (1*3*5*...*(2n+2-1)) / (2*4*6*...*2n+2)
= (1*3*5*...*(2n+1) / (2*4*6*...*2n+2)

Ainsi:
U_n+1 / U_n= ( (1*3*5*...*(2n+1)/(2*4*6*...*2n+2) )*( (2*4*6*...*2n) / (1*3*5...*2n-1) )

= (4n²+2n) / (4n²+2n-2)
= (2n(2n+1))/ (-2(2n²-n+1))

Par conséquent la suite U_n est décroissante

Là je bloque:
Pour prouver qu'il y a une convergence je dois dire que U_n est décroissante et minoré...n'est ce pas??
mais cependant je n'ai pas compris comment montré le majorant et le minorant

merci d'avance à ts ceux et celle qui voudront m'aidé!!
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[invite9442a913]

recoucou!!
je viens de penser là...si U_n est définies pour tt entier n>ou=1 et que U_n est décroissante est ce qu'elle est minoré par 1?? et donc converge vers un réel l

[invitee625533c]

Aprés avoir calculé , tu affirmes que est décroissante, comment le démontres tu? quelle règle appliques tu ?
Moi j'ai trouvé de la forme , où a,b,c et d sont des entiers.
A toi de les trouver.

[invitee625533c]

et pour savoir si elle majorée ou minorée, regarde son signe!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9442a913]

ben au faite à cause du signe - du dénominateur de mn résultat..on a vu sa en cours c'est pr sa qu'il est décroissant

[invite9442a913]

ben au faite si il est décroissant c'est à cause du signe - de mon dénominateur ...on à vu sa en cours si c'est moins alrs < 0 alrs décroissant....mais je n'arrive tjrs pas à comprendre pr minorée et majorée

[invitee625533c]

D'abord il faut refaire le calcul, je t'ai dit que c'était faux.
Ton raisonnement sur le signe - en bas est flou et faux:
Il faut réviser ou étudier les méthodes vues en cours pour étudier les variations d'une suite, notamment les méthodes utilisant et
Rappelle moi la définition d'une suite minorée!

[invite9442a913]

ok je revois sa tt de suite

[invite2ea71f87]

(un) decroissante et est positive (d'apres l'enoncé) donc est minorée par 0

[invite9442a913]

ok j'ai compris mon erreur....je suis trop nulle c'est U_n+1-U_n qu'on compare à 0

question apart qui va peut ê m'aidée...U_n= (2*4*...*2n) / (1*3*...*(2n+1)

et U_n+1 / U_n = (2n+2) / (2n+3) <1
je n'arrive pas à retrouver le résultat

est ce que 2n+2 se trouve bien par 2(n+1)=2n+2

[invite24dc6ecc]

Salut à tous.
j'ai trouvé U(n+1)/Un=(2n+1)/(X*(2n+2)) ça suffit pour dire que le quotient<1.
donc Un décroissante strictement et puisque Un >= 0 alors Un minorée converge vers l.
(X=2n-1).

[invitee625533c]

ok j'ai compris mon erreur....je suis trop nulle c'est U_n+1-U_n qu'on compare à 0

question apart qui va peut ê m'aidée...U_n= (2*4*...*2n) / (1*3*...*(2n+1)

et U_n+1 / U_n = (2n+2) / (2n+3) <1
je n'arrive pas à retrouver le résultat

est ce que 2n+2 se trouve bien par 2(n+1)=2n+2

C'es très bien, refais le calcul en prenant ton temps afin de simplifier et trouver:
comme on vient de le dire.
Ensuite il faut expliquer brièvement pourquoi ce rapport est plus petit que 1.
Remarque: cette règle n'est valable que pour les suites dont tous les termes sont positifs, alors que celle de la différence est toujours légitime.

[invitee625533c]

je veux dire

[invite9442a913]

C'es très bien, refais le calcul en prenant ton temps afin de simplifier et trouver:
comme on vient de le dire.
Ensuite il faut expliquer brièvement pourquoi ce rapport est plus petit que 1.
Remarque: cette règle n'est valable que pour les suites dont tous les termes sont positifs, alors que celle de la différence est toujours légitime.

oui ok c'est bon mais j'ai pas compris le calcul de mon exemple à part j'arrive pas à simplifier pr trouver ce résultat je vien de prendre mon repas là je vais meiux réfléchir

[invite9442a913]

mmmmmmmmmm.... personne ne veut m'aidée??? j'arrive pas à refaire le calcul de mon exemple à part

[invitee625533c]

Diviser une fraction par une autre fraction revient à multiplier la première par l'inverse de la deuxième. Observe bien les facteurs identiques puis simplifie.

Tu peux aussi simplifier directement sans multiplier par l'inverse.

[invite9442a913]

oui je le sais sa mais c'est aprés à la suite je n'arrive pas trouver le résultat final