Limites de suites, encadrements,sens de variation d'une fonctions

[invite9e1f2feb]

Bonjour a tous, voila je suis face à un exercice que je n'arrive pas du tout, je ne sais par ou commencer.

Voici l'exercice, je ne cherche pas a avoir seulement des réponses mais aussi la manière de rédiger , ce qu'il faut écrire et ce qu'il faut pas écrire .

Les suites (Un) et (Vn) sont définies pour tout entier n non nul par :

Un = sin(1/n²) + sin(2/n²)+...+sin(n/n²)
et
Vn = 1/n² + 2/n² + ... + n/n²

1) Prouvez que la suite Vn converge vers 1/2

2) a) Prouvez que chacune des fonctions :

f: x-> x-sinx
g: g-> -1 + x²/2 + cosx
h: x-> -x+ x^3/6 + sinx

ne prend que des valeurs positives ou nulles sur l'intervalle [0;+inf].

b) Justifier que , pour tout n>1 : 1^3+2^3+...+n^3 < n^4

Déduisez du a) l'inegalité :

Vn - (1/6)*(1/2)< Un < Vn pour tout n non nul.

c) Prouvez que la suite (Un) est convergenrte. Quelle est sa limite .

J'aimerais que vous me preniez par la main afin de réussir cette exercice
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[invite7ffe9b6a]

Pour la suite Vn essaye de factoriser et tu devrait reconnaitre une suite arithmétique.
Or la somme des termes d'un suite arithmétique tu connais.


Apres tu calcul la limite lors que n tend vers +linfini et c'est gagne

[invite9e1f2feb]

J'ai donc Vn= n+n² / 2n² , c'est bien sa ?

[invite7ffe9b6a]

J'ai donc Vn= n+n² / 2n² , c'est bien sa ?

oui c'est bien



et la limite lorsque n tend vers +linfi vaut??

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9e1f2feb]

Bas sa donne une FI vu que +inf/+inf , le reponse doit etre 1/2 mais je dois donc factoriser n

Si vous pouvez me donner un debut de piste, n ou n² en facteur ?

[invite9e1f2feb]

UP !

[invitee625533c]

Bas sa donne une FI vu que +inf/+inf , le reponse doit etre 1/2 mais je dois donc factoriser n

Si vous pouvez me donner un debut de piste, n ou n² en facteur ?

tu peux soit factoriser par soit utiliser un théorème du cours sur les limites en + ou - l'infini d'une fonction rationnelle (polynôme/plynôme), résultat pratique que tu dois absolument connaitre.

[invite7ffe9b6a]

Pour les limites à l'infini et UNIQUEMENT A L INFINI tu garde les termes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur .

A l'infini,

=

[invite427a2582]

Pour les limites à l'infini et UNIQUEMENT A L INFINI tu garde les termes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur .

pas forcémment par le terme de plus haut degré mais par le terme prépondérant (exp ...)

[invite7ffe9b6a]

pas forcémment par le terme de plus haut degré mais par le terme prépondérant (exp ...)

oui c'est plus exacte mais je parlais en faite du cas de fonction polynomiale.

En faite on prend des équivalent