Ts: pb sens de variation des suites

[invitef3b3c52e]

Bonjour,

Je suis en terminale S et j'ai besoin d'aide pour une question concernant les suites:

Soit E la partie entière.

Soit p= E(x*10^(n+1)) avec x étant un réel

De plus : p<ou= x*10^(n+1) < p+1

Soit q= E(x*10^n)

De plus : q<ou=x*10^n< q+1

On a montré que p-10q>-1

on doit en déduire le sens de variation de (un) sachant que u(n+1) - un = (E(x*10^(n+1))-10*E(x*10^n))*10^-(n+1).

Voilà, j'ai transformé cette relation; ça donne bien:

u(n+1)-un= (p - 10q)* 10^-(n+1).
Cependant, on ne peut pas avoir si un est croissante car on ne sait pas si u(n+1)-un est positif ou négatif. En effet, on a 10^-(n+1) qui est un terme positif mais (p-10q) peut être positif comme négatif comme p-10q>-1; donc quelque chose doit m'échapper. Merci de m'aider.

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[invitef3b3c52e]

Oh, c'est bon j'ai compris; en fait p-10q est un entier, c'est pour cela que l'on peut déduire le sens de variation de un, ok.
Cependant, j'ai encore un soucis.On a un=E(x*10^n)*10^-n et vn= un+10^-n.
On a prouvé que un et vn étaient adjacentes, donc elles ont une limite commune.

Maintenant, il faut prouver que un<ou=x et que x<ou=vn. J'ai réussi à prouver la première égalité mais pas la deuxième. Pouvez-vous me donner un coup de pouce s'il vous plaît?
Puis, ensuite il faut en déduire la limite de un et vn. Ne serait-ce pas tout simplement x?

Merci de m'aider.

[invitef3b3c52e]

Avez-vous une petite idée?

[invitea3eb043e]

Je crois que tu pigerais tout de suite si tu traitais un exemple.
Prends un nombre x au hasard, par exemple x = 3,1416
Tu verras assez vite que u_2 = 3,14 et v_2 = 3,15
La différence tend vers zéro et la suite u_n est croissante.
La limite est assez évidente !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef3b3c52e]

Oui, c'est bien x; mais comment prouver que x est plus petit que vn?

[invitea3eb043e]

vn est l'arrondi par excès de x avec n décimales.
Si ça ne suffit pas, tu peux dire que 3,15 est plus grand que 3,1416 parce que 500 est plus grand que 416.