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Récurence



  1. #1
    Brumaire

    Récurence


    ------

    Bonjour,

    Voilà , si on a une suite qui est définie par ses deux premiers termes puis U_n est exprimée en fonction de U_(n-2) et de U_(n-1)

    On veut montrer que U_n peut aussi être égale à une autre expression exprimée uniquement en fonction de n (par ex. U_n= kn +t)

    J'ai vérifié que notre nouvelle expression de U_n donnait le même résultat que la première expression de U_n

    Je voudrais savoir si j'ai le droit de prendre comme hypthèses de recurrence que :
    la nouvelle expression est vraie pour un n et qu' elle est aussi vraie pour n-1

    car je voudrais partir de k(n+1) +t = ...
    Pour arriver à k(n+1) +t = rU_(n-1) + vU_(n) = U_(n+1)

    Sinon je ne vois pas comment on peut résoudre ce genre de récurrence

    -----

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  3. #2
    shokin

    Re : Récurence

    La démonstration par récurrence, il me semble que c'est démontrer deux choses :

    démontrer que c'est vrai pour U1

    démontrer que : si c'est vria pour Un, alors c'est vrai pour Un+1

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  4. #3
    Brumaire

    Re : Récurence

    Je sais bien, mais regarde dans le cas des nombres de fibonnaci

    http://forums.futura-sciences.com/sh...ad.php?t=19715

    si je suppose que c'est vrai uniquement pour n

    alors je ne peux réussir à affirmer que j'ai fait apparaitre fib (n) mais je ne peux pas affirmer à 100% que l'autre élément est bien fib (n-1) à moins de l'avoir supposé

  5. #4
    shokin

    Re : Récurence

    Pour Fibonnaci, comme un terme dépend des deux précédents, tu dois montrer (aussi par récurrence) que :

    ça marche pour n=0
    ça marche pour n=1
    si ça marche pour n et n+1, alors ça marche pour n+2

    Je vais aller voir ça pour le cas Fibonnaci dont je ne connaissais pas ce théorème.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Geof

    Re : Récurence

    Salut,

    Je dirais que tout dépend de ce que tu prends comme hypothèse de récurrence:
    Si tu considères H(n) une proposition (hypothèse de récurrence) qui dépend de n, le raisonnement par récurrence consiste en effet à montrer que H(0) est vraie, puis que si H(n) est vraie, alors H(n+1) est vraie.
    Dans le cas des nombres de Fibonacci, rien ne t'empêche d'écrire comme proposition:

    H(n): pour tout k <= n, fib (k) = ( P^k - Y^k)/ racine carrée de 5
    avec les notations utilisées dans ce fil.

    Tu "bénéficies" alors de tout ce dont tu as besoin pour la démonstration par récurrence, en n'utilisant qu'un seul indice n.

    Geoffrey

  8. #6
    Evil.Saien

    Re : Récurence

    shokin, quelqu'un de cultivé comme toi ne connaissait pas le théorème !
    Pourtant il est bien connu et très utile puisqu'il donne la population des genérations de lapins

    Cetres geof, mais comme tu dit qu'il faut le demontrer par recurence, tu vas bien devoir ecrire Un+1 qui est donné en fonction de Un et Un-1... Résultat, pas juste un indice, ni deux mais 3
    Dernière modification par Evil.Saien ; 25/11/2004 à 08h54.

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  10. #7
    Geof

    Re : Récurence

    Salut,

    Ok, si tu comptes n+1 et n, alors 2 indices
    Et 3, en effet, si tu considères la suite de Fibonacci uniquement, mais pas si tu considères la proposition H, puisqu'elle intègre tous les indices <= n (bien que n-1 et n suffisent).

    Il ne s'agit que d'une astuce de logique, pour se conformer à une définition communément admise de la démonstration par récurrence, et rappelée par Shokin dans son premier message de ce fil.

    Geoffrey

  11. #8
    shokin

    Re : Récurence

    Citation Envoyé par Evil.Saien
    shokin, quelqu'un de cultivé comme toi ne connaissait pas le théorème !
    Pourtant il est bien connu et très utile puisqu'il donne la population des genérations de lapins ;-
    Désormais, je saurai !

    et pour la démo ? quelqu'un a trouvé ?

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  12. #9
    Evil.Saien

    Re : Récurence

    ben moi j'l'ai fait, suffit de calculer
    fib(n+1) - fib(n) - fib(n-1) et on trouve 0...
    On en déduit alors que fib(n+1) = fib(n) + fib(n-1) = (p^(n+1) - y^(n+1)) / rac5

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