Bonjour,
j'ai souvent été fasciné par le théorème de d'Alembert-Gauss, ou théorème fondamental de l'algèbre, qui nous dit que tout polynome complexe de degré au moins 1 admet une racine complexe.
Les démonstrations sont souvent assez compliquées et inabordables.
J'ai pensé à une démonstration (qui est un peu un tour de passe passe car utilise un théorème assez peu évident non plus, mais on fera avec) et je vous la soumet donc.
En fait il faudra admettre ce théorème de Rouché:
Soient f et g 2fonctions complexe dérivables sur un domaine D telles que sur un contour c inclus dans D on ait |f|>|g|, alors le nombre de zéros de f+g à l'intérieur de c est égal au nombre de zéros de f à l'intérieur de c.
L'idée est que tout polynôme s'ecrit comme une somme de ai*x^i pour i variant de 0 à n.
Il est clair que |an*x^n| est toujours supérieur au reste de la somme sur un cercle de centre 0 et de rayon R, pour un R suffisament grand.
Le polynôme anX^n admet clairement n zéros(c'est un zéros d'ordre n)
Ainsi en utilisant le théorème de Rouché, notre polynôme de départ admet donc également n racines.
Voila, ce post était juste la pour proposer une démonstration, et je pense que ca change des sempiternelles questions.
J'en profite pour inviter d'autres intervenants à proposer des démonstrations du théorème de Gauss.
Malheureusement je n'en connais pas qui n'utilise pas des concepts simples d'analyse.
Par exemple j'en propose une seconde qui utilise le théorème de Liouville:
Soit f une fonction dérivable sur C tout entier.
Alors soit f est constante, soit elle est non bornée.
(ie:toute fonction bornée est constante)
Si on prend un polynôme P de degré supérieur à 1, et que l'on considère la fonction f=1/P, alors si P n'admet pas de racines, f est bornée et est donc constante. Donc p est constant et donc n'est pas de degré au moins 1. Ce qui contredit l'hyothèse, et donc p admet au moins une racine.
Cette démonstration est je pense la plus courante...
-----
