récurence...conjecture (TS)..

[invite28f48488]

voila je me trouve perplexe devant deux exercices de maths..
pour le premier on me dit
Soit (Un) la suite définie sur N par Uo=0 et
Un+1=racine de (1+ (Un)^2)pour tout n de N

1) Emettre une conjecture sur l'expression de Un en fonction de n puis demontrer cette conjecture.

ne sachant pas ce qu'est une conjecture je suppose qu'il faut partir de Un+1 pour trouver Un mais je ne voit pas comment faire..
quelqu'un pourrait-il m'orienté vers la solution ??
merci d'avance a tout ceux qui voudrons bien partager un peu de leur temps..
-----

[invite8aab28fb]

Eh bien emettre une conjecture c'est "deviner" l'expression de Un en l'occurence Un=racine de n
et après tu le demontre par recurrence.

Voila
PS:J'espere que je me suis pas trompé...

[invite28f48488]

pourquoi dans ce cas on a Un= racine de n ??

[invité576543]

Calcules les premiers termes... Et tu "devines" sur ces premiers termes...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite28f48488]

j'ai calculé les premiers termes et je trouve

Uo=0
U1=racine de 1
U2=racine de 2
U3=racine de 5
U4=racine de 10
U5=racine de 17
je ne comprends toujours pas comment la suite fonctionne...
ce n'est donc pas égal a Un=racine de n...
au secours..

[invite8aab28fb]

Eh ben,
U1=racine de (1+0)=racine de 1
U2=racine de (1+1)=racine de 2
U3=racine de (1+2)=racine de 3
etc.... Comment tu trouve racine de 5?
(U4=racine de (1+3)=racine de 4)

[invite2ece6a9a]

Oula tes premiers termes sont faux il me semble.

U3 = racine( 1 + (racine(2))²)
= racine( 1 + 2) = 3

donc la conjecture pouraait etre un =racine(n)

[invité576543]

j'ai calculé les premiers termes

Tu t'es trompé dans le calcul.

Le carré de racine de 2, c'est 2, pas 4.

[invite28f48488]

non car on a grande racine carré et sous cette racine on a
1+(Un^2)
donc U3=grande racine carré de 1+(2^2) =racine de 1+4=racine de 5 non ??
ou alors j'ai rien compris...

j'ai faux alors?

[invite8aab28fb]

Non c'est pas ca:
U3=racine de (1+U2^2)
=racine de (1+(racine de 2)^2)
=racine de 3

[invite28f48488]

Ca y est j'ai comprisssssssssssssssss

donc je passe au raisonnement par récurence la ??

[invite28f48488]

alors j'ai fait le raisonnement par récurence
je vus met la seconde étape pour me dire si elle est juste...
hypothese de récurence: pour tout n quelconque on a:
Un=racine de n

conclusion: on veut montrer que Un+1=racine de (n+1)

on sait que Un+1=racine de (1+(Un^2))

Un+1= racine de n+1
donc la propriété est héréditaire...

c'est bon ??
en tout cas merci a tous pour votre aide!!
j'ai un autre exo totalement different sur lequel je bloque mais je ferais un nouveau sujet...
merci encore

[invite52c52005]

alors j'ai fait le raisonnement par récurence
je vus met la seconde étape pour me dire si elle est juste...
hypothese de récurence: pour tout n quelconque on a:
Un=racine de n

conclusion: on veut montrer que Un+1=racine de (n+1)

on sait que Un+1=racine de (1+(Un^2))

Un+1= racine de n+1
donc la propriété est héréditaire...

c'est bon ??

C'est un peu rapide. Une étape intermédiaire n'aurait pas été superflue, parce que là, on dirait que tu passes directement à ce que tu voulais démontrer.

De manière un peu plus détaillée, tu aurais :

Supposons

On a

soit, d'après l'hypothèse

La propriété est donc vérifiée au rang n+1.


Pour initier le raisonnement par récurrence, n'oublie pas la 1ère étape.