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récurence...conjecture (TS)..



  1. #1
    marre des maths

    récurence...conjecture (TS)..


    ------

    voila je me trouve perplexe devant deux exercices de maths..
    pour le premier on me dit
    Soit (Un) la suite définie sur N par Uo=0 et
    Un+1=racine de (1+ (Un)^2)pour tout n de N

    1) Emettre une conjecture sur l'expression de Un en fonction de n puis demontrer cette conjecture.

    ne sachant pas ce qu'est une conjecture je suppose qu'il faut partir de Un+1 pour trouver Un mais je ne voit pas comment faire..
    quelqu'un pourrait-il m'orienté vers la solution ??
    merci d'avance a tout ceux qui voudrons bien partager un peu de leur temps..

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Lamenoir

    Re : récurence...conjecture (TS)..

    Eh bien emettre une conjecture c'est "deviner" l'expression de Un en l'occurence Un=racine de n
    et après tu le demontre par recurrence.

    Voila
    PS:J'espere que je me suis pas trompé...

  4. #3
    marre des maths

    Re : récurence...conjecture (TS)..

    pourquoi dans ce cas on a Un= racine de n ??

  5. #4
    invité576543
    Invité

    Re : récurence...conjecture (TS)..

    Calcules les premiers termes... Et tu "devines" sur ces premiers termes...

  6. #5
    marre des maths

    Re : récurence...conjecture (TS)..

    j'ai calculé les premiers termes et je trouve

    Uo=0
    U1=racine de 1
    U2=racine de 2
    U3=racine de 5
    U4=racine de 10
    U5=racine de 17
    je ne comprends toujours pas comment la suite fonctionne...
    ce n'est donc pas égal a Un=racine de n...
    au secours..

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Lamenoir

    Re : récurence...conjecture (TS)..

    Eh ben,
    U1=racine de (1+0)=racine de 1
    U2=racine de (1+1)=racine de 2
    U3=racine de (1+2)=racine de 3
    etc.... Comment tu trouve racine de 5?
    (U4=racine de (1+3)=racine de 4)

  9. Publicité
  10. #7
    lolouki

    Re : récurence...conjecture (TS)..

    Oula tes premiers termes sont faux il me semble.

    U3 = racine( 1 + (racine(2))²)
    = racine( 1 + 2) = 3

    donc la conjecture pouraait etre un =racine(n)

  11. #8
    invité576543
    Invité

    Re : récurence...conjecture (TS)..

    Citation Envoyé par marre des maths Voir le message
    j'ai calculé les premiers termes

    Tu t'es trompé dans le calcul.

    Le carré de racine de 2, c'est 2, pas 4.

  12. #9
    marre des maths

    Re : récurence...conjecture (TS)..

    non car on a grande racine carré et sous cette racine on a
    1+(Un^2)
    donc U3=grande racine carré de 1+(2^2) =racine de 1+4=racine de 5 non ??
    ou alors j'ai rien compris...

    j'ai faux alors?

  13. #10
    Lamenoir

    Re : récurence...conjecture (TS)..

    Non c'est pas ca:
    U3=racine de (1+U2^2)
    =racine de (1+(racine de 2)^2)
    =racine de 3

  14. #11
    marre des maths

    Re : récurence...conjecture (TS)..

    Ca y est j'ai comprisssssssssssssssss

    donc je passe au raisonnement par récurence la ??

  15. #12
    marre des maths

    Re : récurence...conjecture (TS)..

    alors j'ai fait le raisonnement par récurence
    je vus met la seconde étape pour me dire si elle est juste...
    hypothese de récurence: pour tout n quelconque on a:
    Un=racine de n

    conclusion: on veut montrer que Un+1=racine de (n+1)

    on sait que Un+1=racine de (1+(Un^2))

    Un+1= racine de n+1
    donc la propriété est héréditaire...

    c'est bon ??
    en tout cas merci a tous pour votre aide!!
    j'ai un autre exo totalement different sur lequel je bloque mais je ferais un nouveau sujet...
    merci encore

  16. Publicité
  17. #13
    nissart7831

    Re : récurence...conjecture (TS)..

    Citation Envoyé par marre des maths Voir le message
    alors j'ai fait le raisonnement par récurence
    je vus met la seconde étape pour me dire si elle est juste...
    hypothese de récurence: pour tout n quelconque on a:
    Un=racine de n

    conclusion: on veut montrer que Un+1=racine de (n+1)

    on sait que Un+1=racine de (1+(Un^2))

    Un+1= racine de n+1
    donc la propriété est héréditaire...

    c'est bon ??
    C'est un peu rapide. Une étape intermédiaire n'aurait pas été superflue, parce que là, on dirait que tu passes directement à ce que tu voulais démontrer.

    De manière un peu plus détaillée, tu aurais :

    Supposons

    On a

    soit, d'après l'hypothèse

    La propriété est donc vérifiée au rang n+1.


    Pour initier le raisonnement par récurrence, n'oublie pas la 1ère étape.

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