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Récurence,dérivée et...




  1. #1
    Jarod
    Bonjour à tous!

    J'ai besoin d'une "petite" aide!

    Alors voilà
    1.Soit f la fonction définie sur ]a;+infini[ par f(x)=1/(x-a)
    a)Calculer f'(x),f''(x),f'''(x) et f''''(x).
    b)Conjecturer l'expression de f^(n)(x) pour n appartient à N*.Démontrer la par récurence.

    2.Soit g la fonction définie sur]1;+infini[ par g(x)=1/(x^2-1)
    a)Déterminer les réels p et q tels que,pour tout x de ]1;+infini[, g(x)=p/(x-1)+q/(x+1).
    b)Calculer g^(n)(x) pour tout n de N*

    Alors j'ai calculer les dérivées et j'ai trouvé ((-1)^n*n!)/(x-a)^n+1 pour l'expression de f de n.Donc est-ce que c bon et quelqu'un pourrait il m'aider à la démontrer par récurence.
    Ensuite pour les réels p et q je n'y arrive pas:j'obtient px+qx+p-q=1 et pis voilà...

    D'avance merci!

    P.S:Maudite soit les maths!Je rigole...

    -----

    Moins d'énergie, moins de pollution et du mieux vivre avec negawatt dans google...

  2. Publicité
  3. #2
    Futura
    salut,

    pour la récurrence touille un peu et ça devrait passer !

    pour trouver p et q c'est simple tu décomposes en elts simples, en sachant que les racines de X²=1 sont 1 et -1, facile non ?

    tu as

    p/(x-1)+q/(x+1) = 1/(x^2-1)

    tu multiplies par x-1 et évalue en 1 => tu as p !

    le reste coule de source !

    Futura
    Just do it !

  4. #3
    Jarod
    Ca veut dire quoi evalué en 1?et décomposé en elts simples ?
    ops:
    Je suis en terminale S!
    Jarod,pas tres fort en maths!
    Moins d'énergie, moins de pollution et du mieux vivre avec negawatt dans google...


  5. #4
    Quinto
    Si t'es en terminale, t'as pas le choix, tu utilises la méthode bourrine:

    tu sais que p et q existent tels que
    q/(x+1)+p/(x-1) = 1/(x²-1)

    Bah ce qui pourrait etre pas mal ce serait de tout mettre au même dénominateur et d'identifier p et q

    tu vas trouver un truc qui va ressembler à

    q(x-1)+p(x+1) = 1

    tu peux par exemple poser y(x)=q(x-1)+p(x+1)
    tu sais que y(x)=1 pour n'importe quel x, donc en particulier pour des x "interessant"
    ici ceux qui sont interessant sont 1 et -1 parce qu'ils vont faire partir q et p

    y(1)=q*0+p(1+1)=1 d'ou 2p=1 et p=1/2

    je te laisse trouver de la même manière q

  6. #5
    Futura
    'soir,

    Quinto a répondu à tes attentes il me semble ! oui désolé la méthode des elts simples on voit ça après la bac ou en Tale si certains profs sont motivés. Sinon évaluer en 1 c'est faire x=1 dans ta fraction rationnelle.

    Futura
    Just do it !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Jarod
    salut

    merci à tous de votre aide!

    Si vous avez des trucs à dire sur la récurence et l'expression de g de n n'hésiter surout pas !

    ++
    Moins d'énergie, moins de pollution et du mieux vivre avec negawatt dans google...

  9. #7
    Marc
    La récurrence est évidente :
    tu suppose que f^n = ce que tu as écrit
    tu dérives cette expression, et tu tombes sur ce que tu as écrit en remplaçant n par (n+1)

    Rqe : il faut savoir que n!.n = (n+1)!

    Pour l'amorçage, il y a la question 1.a)

    Marc

  10. Publicité
  11. #8
    Marc
    oups j'ai pas vu, mais tu demandais g (et moi je t'aidais pour f)

    Marc

  12. #9
    Marc
    donc pour la dérivée n-iéme de g, tu utilises le fait que :
    g(x) = 0.5/(x-1) + 0.5/(x+1)

    Tu sais dériver n fois 1/(x-1) et 1/(x+1) en prenant respectivement a = 1 et a = -1 dans le résultat de 1°)

    Voilà, je te laisse terminer le calcul. (pas besoin de récurrence cette fois-ci !)

    Marc

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