Bonjour, j'ai un QCM portant sur divers trucs en analyse et il est facile de trouver la bonne réponse parmi deux ou trois absurdités mais je voudrais avoir une idée sur la façon dont on démontre quelques uns, parmi les quels :
1) Si f est une fonction dérivable sur [-3,3] alors f est bornée sur [-3,3]
2) Si f est continue sur [-a,a] et f est une bijection sur [-a,a] alors f est strictement monotone sur [–a,a] (a étant un réel strictement positif)
Merci d'avance
Salut,
c'est un peu loin tout ça pour moi, mais j'aurais tendance à partir sur quelques pistes:
1°/ : Si f est dérivable sur I=[-a,a], alors f est continue sur I. (Là il faudrait faire un lien plus rigoureux que ce que je fais.) Donc si f continue sur I, la fonction n'a pas de point de discontinuité sur ]-a,a[, elle est donc bornée. La difficulté étant je pense de s'occuper des points -a et a pour démontrer que le prolongement par continuité est fait grâce à une fonction bornée sur ces valeurs également.
2°/ : J'aurais tendance à aborder celle-ci par l'absurde.
Imaginons que f est continue et bijective sur I et qu'elle ne soit pas monotone sur I.
Donc il existe deux réels différents x1 et x2 appartenant à I pour lesquels f(x1)=f(x2). Alors f n'est pas bijective.
Ce ne sont que des pistes qui me viennent, mais je n'ai plus assez de pratique depuis trop longtemps pour pouvoir être rigoureux et me souvenir des théorèmes courants à utiliser... (C'est qu'on se sent vieux d'un coup !)
Cordialement,
Ecthelion
