Suite de Fibonnaci - Autour du nombre d'or

[invitec11f056c]

Bonjour à tous,
je fais appel à vous étant donné que je "bloque" sur un exercice.
Je pense avoir réussi les 4 premières questions
Voici l'énoncer (exercice 54) : http://www.noelshack.fr/voir/260209/Photo004050546.jpg

Voici mes réponses : http://www.noelshack.fr/voir/260209/Photo005033474.jpg
http://www.noelshack.fr/voir/260209/Photo006040986.jpg
Je bloque donc sur la deuxième partie de la 4ème question ; Je ne sais pas vers quoi m'orienter... développer puis soustraire les deux opérations? Une piste serait la bienvenue
Merci d'avance
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[invitebe08d051]

Bonjour
Pour la question 4 je te conseille de développer tout et laisser Vn+1 de coté tu tomberas directement dans la relation de la question 2.
La deuxième partie de la question 4 utilise le théoreme des accroissement finis.
Pour la 5ème question utilise la récurrence.
J'attends pour voir tes réponses amicalement.

[invitee625533c]

Bonjour,

pour le calcul des 11 termes, la prochaine fois calcule seulement les 3 premiers termes à la main pour montrer que t'as compris le lien entre u_n et v_n et le reste à la calculatrice, tu ne sera pas sanctionné.

Début de l'exercice 4: tu peux améliorer ta réponse en factorisant par dans le numérateur de la quatrième ligne, puis factoriser le numérateur par .

pour la dernière partie: tu peux justifier par récurrence que ≥ pour tout . Il te sera ensuite facile de majorer la valeur absolue de la quantité et tu auras le résultat.

[invite250a49ad]

pour montrer l'inégalité, on ne peut pas simplement partir du fait que Vn+1>Vn

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee276fd2c]

pour la 2e partie de la question 4 tu pars de l'égalite que tu viens de trouver au debut de la Q4, puis puisque la valeur absolue d'un produit est le produit des valeurs absolus tu trouves que l'inegalite que tu dois trouver est equivalente a
(fi-1)/Vn<0.7 puisque Vn est tjrs positif. puis tu trouves quelle inegalite doit verifier Vn et je pense que la recurrence permet de la demontrer.

[invite250a49ad]

je ne comprends pas très bien le raisonnement et je pense que l'on peut faire plus simplement

[invitee276fd2c]

alors explique le raisonnement avec Vn+1>Vn parce que je nai pas compris skil fallait faire avec ...

[invite250a49ad]

le raisonnement qui marcherait c'est si Vn+1>Vn, ce qui parait logique non ??

[invitee276fd2c]

oui c juste

[invite250a49ad]

Vn+1>Vn
(Vn+1-φ)>(Vn-φ)
(Vn+1-φ)<0.7(Vn-φ)
les parenthèses sont des valeurs absolues

[invite250a49ad]

par contre pour la question 5, je bloque

[invitee276fd2c]

Vn+1>Vn
(Vn+1-φ)>(Vn-φ)
(Vn+1-φ)<0.7(Vn-φ)
les parenthèses sont des valeurs absolues

je nai pas saisi comment on passe de (Vn+1-φ)>(Vn-φ)
a (Vn+1-φ)<0.7(Vn-φ)

[invitee276fd2c]

moi je pense kil faut plutot partir de ce qu'on doit prouver et de voir que c equivalent a (fi-1)/Vn<0.7 puis on isole de cette inegalite Vn pour trouver quelle inegalite il doit verifier soit Vn>(fi-1)/0.7 et cela on le demontre par recurrence

pour la question 5, on trouve immediatement l'inegalite par recurrence

[invite250a49ad]

comment tu sais que (fi-1)/Vn<0.7 ?
on passe de (Vn+1-φ)>(Vn-φ)
a (Vn+1-φ)<0.7(Vn-φ) car quand on multiplie par un nombre plus petit que 1, on change l'inégalité de sens.

[invitee276fd2c]

d'une part il faut multiplier des deux cotes par le nombre en question
d'autre part on change le sens de l'inegalite si le nombre par lequel on la multiplies est <0 et non 1

je ne sais pas encore que (fi-1)/Vn<0.7 mais l'inegalite demande dans la question 4 est equivalente a celle ci donc il suffit de demontrer que (fi-1)/Vn<0.7 pour resoudre l'inegalite demandée, ce qui revient a demontrer que Vn>(fi-1)/0.7 ce qui se demontre par recurrence

[invite250a49ad]

tu peux expliquer entierement ton raisonnement parce que j'arrive pas à voir où tu veux en venir

[invite250a49ad]

la derniere partie de la question 4 svp

[invite29319a93]

Salut les gars,
Je ne sais pas si vous avez des yeux mais kaiswalayla avait déjà répondu et avec la réponse attendue par celui qui a écrit l'énoncé!!!!

[invite29319a93]

comment tu sais que (fi-1)/Vn<0.7 ?
on passe de (Vn+1-φ)>(Vn-φ)
a (Vn+1-φ)<0.7(Vn-φ) car quand on multiplie par un nombre plus petit que 1, on change l'inégalité de sens.

Raisonnement faut pour les raison qu'avait dites yona!
Sinon (fi-1)/0.7=0,6.. donc on a bien vn> (fi-1)/0.7 (car vn>0 et donc vn>1 d'après l'expression de vn)

[invite250a49ad]

excuse moi de demander plus de précisions

[invite29319a93]

tu as! l vn+1_fi l<([fi-1]/vn) l vn-fi l
donc il suffit de montrer que : ([fi-1]/vn)<0,7
on a : vn=un+1/un donc vn>1 car: un est croissante.


donc: [fi-1]/vn<[fi-1]

et par calcul tu peux montrer que: [fi-1]<0,7 (tu le fais par l'absurde) tu peux le vérifier avec ta calculatrice

et donc :

[fi-1]/vn)<[fi-1]<0,7 cqpc

[invite250a49ad]

OK merci beaucoup

[invite250a49ad]

pour la question 5, peut-on dire que:

comme, par exemple pour n=3, on a |V4 -fi| < (0,7)|V3 -fi|

donc |Vn -fi| < (0,7)^n.|V0 -fi|
de plus,(0,7)^n |V0-a| < (0,7)^n
on déduit que |Vn-fi| < (0,7)^n ??
Merci.

[invite250a49ad]

c'est bon ??

[invite250a49ad]

alors

[invite250a49ad]

[invite29319a93]

alors

alor

Je croix que c'est pas comme ça que tu vas inciter les gens à te répondre et vite!!. (gogoal 16/04/2009, 22h28 ==>b2odu5800016/04/2009, 21h50)

Sinon j'ai pas de connexion chez moi (je l'ai toujours pas) depuis un bon monment....

Mais j'essayerai de te répondre en quelque secondes:

pour la question 5, peut-on dire que:

L0: comme, par exemple pour n=3, on a |V4 -fi| < (0,7)|V3 -fi|

L1: donc |Vn -fi| < (0,7)^n.|V0 -fi|
L2: de plus,(0,7)^n |V0-a| < (0,7)^n
L3: on déduit que |Vn-fi| < (0,7)^n ??
Merci.

D'abord il faut savoir que qu'on on fait quelque chose de convaincant on le sent!!!

Pour ta ligne L0: c'est bien de voir ce que ça fait pour des valeur de n (3ou 4 ...) mais il ne faut pas l'introduire dans les démonstrations.

L1: correcte mais la demo n'est pas suffisante. utilise la récurrence, ça prend une ligne. (essaye si c'est vrais pour n=0, puis suppose la pour n et utilise le 4 pour la déduire pour n+1)

L2: tu as dit "de plus (0,7)^n |V0-a| < (0,7)^n " je n'ai jamais
entendu de l'existence d'une telle proposition (a c'est quoi?).
sinon pour a=fi, tu dois calculer la valeur de V0-fi et trouver qu'elle inférieur à 1 pour pouvoir en conclure cette inégalité, sinon ton raisonnement est bon.

L3: c'est bon si tu corrige/complète L1 et L2.

C'est tout.


Conseil: en maths il n'y a as de miracle, c'est en fonction du nombre d'exos compris qu'on a fait, qu'on arrive à avoir des techniques et résoudre facilement les exos. Trouve toi un livre avec des exos corrigé et bien expliqués et tu verras en une courte durée, tu sera plus en besoin d'attendre les gens pour répondre tes question sur un exo de ce type.

[invite250a49ad]

Merci d'avoir pris le temps de me corriger!!