Equation différentielle; variation de la constante

[invited5e08241]

Hi everybody ^^

Je suis en dernière année de lycée, et je dois rentre un dossier concernant les équations différentielles.

J'ai toutefois un petit problème concernant la variation de la constante. Et si par la même occasion quelqu'un pouvait vérifier mon raisonnement

On considère l'équation différentielle suivante défini sur R :

y' = 5y + 2

En résolvant l'équation homogène, l'on obtient
y = Cexp(5x)

Ensuite c'est là que je bloque.
On suppose que C est une fonction. Soit C = g(x)
Ce qui donne : y = g(x)exp(5x)
En remplaçant dans l'équation diff, on obtient :
g'(x)exp(5x) + 5g(x)exp(5x) = 5g(x)exp(5x) + 2 || -5g(x)exp(5x)
<=> g'(x)exp(5x) = 2 soit g'(x) = 2/exp(5x) = 2exp(-5x)

-> g(x) =-2/5 exp(-5x)

En remplaçant dans y, on trouve :
y = -2/5exp(-5x)*exp(5x) = -2/5
Du coup y = Cexp(5x) -2/5 ...

C'est là, que je comprends pas. Que signifie le -2/5 ? Et pourquoi lorsque l'on trouve que y = -2/5 on l'ajoute à la fonction y de base ...
est-ce parce que la fonction y d'origine (y=Cexp(5x)) est trop grande de 2/5 et qu'il faut lui retirer cela pour que l'équation soit vérifié ?


Merci
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[invite34b13e1b]

Pour resoudre une équation différentielle avec second membre, on trouve la solution générale de l'équation homogène associée; et on rajoute une solution particulière de l'équation differentielle.
Dans ton cas: la solution de l'équa homo associée est:
y=Cexp{5x}
Et une solution particulière de ton equation diff est:
p(x)=-2/5

Donc la solution générale de ton equation diff est f telle que f(x)=y(x)+p(x)

La méthode de la variation de la cste te sert à trouver une solution particulière de l'equation diff.

[Flyingsquirrel]

Salut,

Et pourquoi lorsque l'on trouve que y = -2/5 on l'ajoute à la fonction y de base ...

A priori, on ne sait pas résoudre les équation du type . Par contre, si l'on connaît une solution quelconque de l'équation (c'est-à-dire que l'on a ), on peut écrire que toute solution de (1) vérifie (on a soustrait (2) à (1)). Si maintenant l'on introduit la fonction , on a ce qui donne, en remplaçant ces deux expressions dans (3), . Et cette équation là, on sait la résoudre ! Les solutions sont de la forme . Ensuite on peut en déduire que : les solutions de (1) sont la somme des solutions de (3) (on appelle cette équation l'équation sans second membre) et d'une solution particulière de (1).
La méthode de la variation de la constante nous permet de déterminer une solution particulière (en l'occurrence la fonction constante égale à -2/5) et donc de résoudre l'équation.

[invited5e08241]

Ok merci pour votre aide mais il y'a juste encore un petit point que je n'ai pas compris.

L'équation (3) c'est bon mais je comprends pas la logique qui nous fait avoir l'équation (2), ne se ramène-t-elle pas à la première ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

L'équation (3) c'est bon mais je comprends pas la logique qui nous fait avoir l'équation (2), ne se ramène-t-elle pas à la première ?

Si. J'ai défini comme étant une solution de l'équation n°1... donc c'est normal qu'elle vérifie l'équation n°1.

[invited5e08241]

Ah ok, dans ce cas c'est tout bon merci encore ^^