Retrouver les formules de trigonométrie

[invite170687be]

Bonjour,

Je voulais savoir s'il était possible de retrouver les formules de trigonométrie du genre : cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b avec les complexes.

Je me souviens aussi qu'on pouvait retrouver quelques formules de trigonométrie avec la formule de Moivre : e^{i n} =n cos+n i sin
mais je ne me souviens plus lesquelles ni comment ...

Merci d'aider ma mémoire parceque ces formules là c'est beaucoup trop dur à retenir ...
-----

[invite170687be]

Euh grosse erreur

Formule de Moivre : (eⁱ)ⁿ=eⁱⁿ

Celle du premier message étant complètement fausse

[Hamb]

oui : pour ton exemple elle se trouve avec l'égalité exp(ia).exp(-ib) = exp(i(a-b))
tu développes les membre de gauche, et tu regardes la partie réelle des 2 cotés.

edit : il doit surement y avoir des méthodes du meme genre plus ou moins compliquées pour toutes les formules de trigo (le plus simple reste quand meme de les ocnnaitre )

[Seirios]

Je voulais savoir s'il était possible de retrouver les formules de trigonométrie du genre : cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b avec les complexes.

Toutes ces formules se démontrent assez facilement à partir de l'écriture complexe du cosinus et du sinus.

Je me souviens aussi qu'on pouvait retrouver quelques formules de trigonométrie avec la formule de Moivre : e^{i n} =n cos+n i sin
mais je ne me souviens plus lesquelles ni comment ...

En définissant l'exponentielle complexe ainsi : , tu peux montrer que en utilisant le développement en série du cosinus et du sinus ; ensuite, il te reste à montrer à partir de la définition de l'exponentielle que , puis d'en déduire par récurrence que . (Si tu as besoin de plus de détails, n'hésite pas à demander.)

[A voir en vidéo sur Futura]