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[1eS] Trigonométrie, formules de duplication



  1. #1
    MangeDuPwasson

    [1eS] Trigonométrie, formules de duplication


    ------

    Bonjour a tous
    Alors voila j'ai un ptit problème, je n'arrive pas a faire un exercice.
    Le voila :
    a) Exprimer cos ( a+b+c ) et sin ( a+b+c ) en fonction de cos a , cos b , cos c et sin a, sin b , sin c.
    b) En déduire une expression de cos 3a en fonction de cos a et une expression de sin 3a en fonction de sin a

    Alors voila, déjà j'ai aucune idée de comment faire le a)

    Aidez moi
    A bientot

    -----

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  4. #2
    Duke Alchemist

    Re : [1eS] Trigonométrie, formules de duplication

    Bonsoir et bienvenue.

    Je te proposerais simplement de t'y prendre en deux temps en appliquant deux fois successives les formule de duplication.
    cos(a+b+c) = cos((a+b)+c) = ...
    puis tu exprimes cos(a+b) et sin(a+b) en fonction cos(a), cos(b), sin(a) et sin(b).

    Cordialement,
    Duke.

  5. #3
    MangeDuPwasson

    Re : [1eS] Trigonométrie, formules de duplication

    Je trouve
    cos (a+b+c) = cos ((a+b)+c)
    = cos(a+b) x cos(c) - sin(a+b) x sin(c)
    =( cos(a) x cos(b) - sin(a) x sin(b) )x cos(c) - (sin(a) x
    cos(b) + cos(a) x sin(b) ) x sin(c)

    Mais la je vois pas comment arriver a une forme ne laissant apparaitre que les cosinus, ptet que jme suis trompé

  6. #4
    Duke Alchemist

    Re : [1eS] Trigonométrie, formules de duplication

    Re-

    A vu cela m'a l'air bon.
    Ton énoncé indique qu'il doit y avoir du "cos a , cos b , cos c et sin a, sin b , sin c" et c'est bien ce que tu as.
    Si tu veux faire apparaître que du cos, tu peux utiliser la relation (fondamentale) cos²x + sin²x = 1 mais bon, tu risques de compliquer (un peu ) le résultat.

    Duke.

    EDIT : Pour voir si ça marche, remplace b et c par a et déduis l'expression de cos(3a)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    MangeDuPwasson

    Re : [1eS] Trigonométrie, formules de duplication

    Ok, parce que moi j'avais compris qu'il ne fallait faire apparaitre que des cos pour cos(a+b+c) et que des sin pour sin(a+b+c).
    Jme penche sur le b), merci bcp de m'aider Duke

  9. #6
    MangeDuPwasson

    Re : [1eS] Trigonométrie, formules de duplication

    Ah mince j'avais zappé la deuxieme partie du a), mais ca doit etre juste.

    sin(a+b+c)= sin((a+b)+c)
    =sin(a+b)x cos(c) + cos(a+b) x sin(c)
    =(sin(a) x cos(b) + cos(a) x sin(b)) x cos(c) + (cos(a) x cos(b) - sin(a) x sin(b)) x sin(c)

    Par contre j'ai pas compris comment on pouvait en déduire sin(3a) et cos (3a)

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  11. #7
    MangeDuPwasson

    Re : [1eS] Trigonométrie, formules de duplication

    En fait si, j'ai compris, cos(3a) = cos(a+a+a) ou cos(2a+a)
    Merci
    Une petite confirmation de ce que j'ai fait est juste?

    cos(a+a+a) = cos(a+a)xcos(a) - sin(a+a) x sin(a)
    = cos²(a)-sin²(a) xcos(a) -2sin²(a) x cos(a)
    = cos²(a) -(1 - cos²(a)) xcos a - 2(1-cos²(a)) x cos(a)
    = cos²(a) -1 + cos²(a) x cos(a) -2 + 2cos²(a) x cos(a)
    = 2cos²(a) -1 x cos(a)-2 + 2cos^3(a)

    Meme si jpenses que la derniere ligne est inutile, au vu des attentes de l'énoncé.

  12. #8
    Duke Alchemist

    Re : [1eS] Trigonométrie, formules de duplication

    Bonjour.

    Normalement, tu dois trouver cos(3x) = 4cos3(x) - 3cos(x).

    Il doit y avoir une erreur quelquepart. Là je n'ai pas le temps de la cherchée.
    J'y reviendrais si tu ne l'as pas trouvée.

    Cordialement,
    Duke.

  13. #9
    Duke Alchemist

    Re : [1eS] Trigonométrie, formules de duplication

    Re-
    Citation Envoyé par MangeDuPwasson Voir le message
    cos(a+a+a) = cos(a+a)xcos(a) - sin(a+a) x sin(a)
    = (cos²(a)-sin²(a)) xcos(a) -2sin²(a) x cos(a)
    = ...
    Ces parenthèses oubliées modifient quelque peu le résultat
    De plus, j'aurais plutôt utilisé cos(2x) = 2cos²(x) -1 qui t'aurait fait gagner une étape.

    Duke.

  14. #10
    MangeDuPwasson

    Re : [1eS] Trigonométrie, formules de duplication

    Ah oui merci !
    C'est bon j'ai trouvé 4cos^3(a) - 3cos(a)

    Merci a toi Duke
    Sinon pour sin(3a) je trouve 3sina - 4sin^3a

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