La trigonométrie addition et duplication

[invitedcbe4be7]

Bonjour voila un exercice ou je calle un peu :

Démontrer que pour tout réels x et y

2cos(x+y) * sin(x-y) = sin2x-sin2y


Deja sin(x-y) = sinxcosy-sinycosx

mais pour 2cos (x+y) ???

Si vous pouvez m'aider un peu merci
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[doryphore]

Tu connais les exponentielles complexes: exp(i*theta) ?

[matthias]

Si tu développes des deux côtés en utilisant tes formules de trigo, tu devrais TRES facilement résoudre ton problème ...

[invitedcbe4be7]

po du tout lol on a vu que les formules d'addition et de duplication

[A voir en vidéo sur Futura]

[doryphore]

De toute façon, dans ce cas la c'est comme utiliser un marteau-pillon pour écraser une mouche... Développe...

[invitedcbe4be7]

Oui développer :

2cosx+2cosy * sinxcosy-sinycox et apres arf

2cosx ou 2cosy ???

[matthias]

Tu connais les exponentielles complexes: exp(i*theta) ?

utiliser un bulldozer pour écraser un moucheron c'est toujours drôle, mais pas forcément utile

[invitedcbe4be7]

car par exemple sin2a= 2sina cosa

[matthias]

Oui développer :

2cosx+2cosy * sinxcosy-sinycox et apres arf

2cosx ou 2cosy ???

ça sort d'où ce 2cosx + 2cosy ??????

[invitedcbe4be7]

2cos (x+y) tu développes comment? arf oups lol

[doryphore]

La fonction cosinus n'est pas une fonction linéaire, on a pas cos(x+y)=cosx + cos y.

C'est comme le carré, est-cce que (x+y)²=x²+y² ?

[invitedcbe4be7]

Ben non d'accord j'ai compris pour ce que tu dis mais pour l'exo arf je calle encore lol

[doryphore]

cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y
cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y

sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y
sin (x-y) = sin x cos y + cos x sin y

Tu as tout ce qu'il te suffit.

[invitedcbe4be7]

sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y

Je vais essayer lol merci je vous dis ca

[doryphore]

Tu auras besoin de sin² x + cos² x = 1 pour tout x (donc pour y)

[invitedcbe4be7]

je n'y arrive pas arf pourtant je frolle je sens mais voila j'arrive à ca :

2cos(x+y)* sinxcosy-sinycosx


= 2* (cosxcosy-sinxsiny) *sinxcosy-sinycosx je peux ?

= 2cosxcosy - 2sinxsiny * sinxcosy-sinycosx ?

[doryphore]

Fais gaffe à tes parenthèses tout de même...

2 (cos x cos y - sin x sin y) * (sin x cos y - cos x sin y)

Maintenant tu développes comme 2 (a+b)*(c+d) "double-distributivité" prgme de 4eme

[invitedcbe4be7]

Re ben 2 ( cosx cosy - sinx siny) * (sinxcosy-cosx siny) m'embrouille un peu avc tout ça arrive po a appliquer la double dis avc ca (meme si c'est tout bête la double dis)

[Quinto]

Je ne pense pas que les formules s'inventent de toute manière. Si on te demande de t'en sortir c'est qu'elles doivent être quelque part dans un cours ou un bouquin, non?

En plus tu aurais pu voir par toi même que
cos(x+y) ne vaut pas cos(x)+cos(y) en posant x=y=0 tu trouverais que 1=2 ...

[doryphore]

En appliquant la double-distributivité, tu vas trouver 4 termes:

... + ... + ... + ...

Je te donne le "premier":

cos x sin x cos y cos y,

que tu peux écrire cos x sin x (cos y)² ou cos x sin x cos² y

A toi de trouver les trois autres termes ( il peut y avoir des signes -)

[invitedcbe4be7]

cosx sinx cos²y - cos²x cosy siny - sin²x siny cosy + sinx cos x sin²y

Voila

[invitedcbe4be7]

donc j'arrive à :

2cosx +2sinx+1 -1 -2cosy - 2siny ???

donc 0

2*0 = 0 donc

sinxcosy - sinycosx = sin2x-sin2y?

C'est ca non?

[invitedcbe4be7]

quoi que non même pas arf ben tanpis merci a vous

[doryphore]

Maintenant tu factorises selon cos x sin x pour deux des termes et selon cos y sin y selon les deux autres termes.

[invitedcbe4be7]

ben ca fait


2 (cosx +sinx) - 2 (cosy +siny)


Mais c'est po égal a sin2x - sin2y car = 2sinxcosy-2sinycosy

[doryphore]

Je parle du message #21, qu'est ce qui se passe si tu factorises les termes 1 et 4 par cos x sin x et les termes 2 et 3 par cos y sin y.
En tout cas pas ce que tu as dis dans ton message #22.

[invitedcbe4be7]

Doryphore pas grave je suis crevé merci pour ton aide demain je demanderai a mon prof. de m'expliquer ça me sera plus clair merci quand même bye

[doryphore]

En tout cas tu as intérêt à revoir sérieusement le développement des expressions et leur factorisation sans quoi ce ne sera pas beaucoup plus clair avec ton prof, je ne crains....
C'est dommage que tu te sois arrêter là ...

La factorisation que je demandais était:

cos x sin x (cos² y + sin² y) - cos y sin y (cos² x + sin² x)

soit

cos x sin x - cos y sin y (on n'oublie pas le 2 qui était en facteur)

or

sin 2x - sin 2y = sin(x+x) - sin (y+y) = 2 sin x cos x - 2 sin y cos y

[Quinto]

Et avec un truc dans le genre:
sin(z+Pi/2)=cos(z) et cos(z+pi/2)=-sin(z) (a savoir, ou a remarquer...)

on a alors que
cos(x+y)=sin(x+y+Pi/2)=
sin(x+Pi/2)cos(y)+sin(y)cos(x+Pi/2)
=
cos(y)cos(x)-sin(y)sin(x)

et on multiplie des 2 cotés par 2 et on a ce qu'on voulait.