TS Spé maths: équations et implication

[invite476719f2]

Bonjour,

Voilà je bute sur quelque chose en spé maths, en fait c'est un truc qui m'intrigue. Je vais essayer d'expliquer clairement mon problème, même si c'est pas évident. On était sur un exo, où il fallait trouver tous les entiers relatifs n tels que n-1 divise (ou /) n+5. Pour ça on a dit que n-1/n-1 et que donc n-1 divise toute combinaison linéaire de n+5 et n-1. On a donc une première équation qui en implique une deuxième. (enfin je cite mon prof)

On a alors n-1/n+5-(n-1)
D'où n-1/6
De là on trouve tous les n tels que n-1/6. Sauf que voilà, les solutions de cette deuxième equation sont, toujours d'après mon prof, pas spécialement solutions de la première, et il faut donc toutes les vérifier une à une dans la première. (ici, elles sont toutes bonnes mais mon prof a insisté sur le fait que ce n'est pas toujours le cas)

En effet on a fait un deuxième exo où il fallait trouver tous les n tels que 2n-3/n+5. Donc même méthode mais cette fois seuls 3 des solutions sur 4 de la deuxième équation sont solutions de la première.

Ce que je comprends, c'est que la première chose implique la deuxième (c'est à dire si c/a et c/b alors c/ma+nb avec m et n entiers relatifs). Je sais que ce n'est pas une équivalence dans la mesure où si on a un entier c quelconque qui divise une combinaison linéaire de a et b, c ne divise pas forcément a et b.
En revanche, je ne comprends pas pourquoi AU MOINS une partie des solutions de la 2eme equation représentent toutes les solutions de la première, puisqu'elles sont liées dans une certaine mesure mais pas dans une autre.

Bref je n'arrive pas à piger le pourquoi du comment de cette relation. Les deux équations sont liées mais n'ont pas forcément les mêmes solutions, j'avoue que c'est peut être bête mais je cale pas.

Si vous pouviez m'expliquer la chose, ça me rendrait un grand service. Merci beaucoup.
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Je ne comprends pas ce qui te pose problème. Tu dis que tu comprends que si un nombre divise les deux nombres et alors il divise et ensuite tu nous demandes pourquoi « AU MOINS une partie des solutions de la 2eme equation représentent toutes les solutions de la première » c'est-à-dire pourquoi les nombres divisant les deux nombres et (=les solutions de la première équations) divisent aussi (c'est-à-dire sont des solutions de la seconde équation). J'ai l'impression que tu nous poses une question à laquelle tu as toi-même répondu. À moins que j'ai raté quelque chose ?

[invite476719f2]

Salut et merci pour la réponse. J'avoue que je suis pas clair mais j'essaye de l'être car finalement ce que je comprends pas est peut etre un peu abstrait.

Pour reprendre ce que tu dis, par exemple je comprends pas pourquoi dans mon deuxième exo les c divisant a+b ne divisent pas tous a et b, alors qu'au départ on part de "si c/a et c/b alors c/ma+nb"

Tu dis "c'est-à-dire pourquoi les nombres c divisant les deux nombres a et b (=les solutions de la première équations) divisent aussi a+b (c'est-à-dire sont des solutions de la seconde équation)." Mais en fait c'est peut être l'inverse que je me demande. Pourquoi tous les c tels que c/a+b ne divisent pas TOUS a et b, alors qu'au départ on a c/a et c/b

Bref si tu vois ce que je veux dire, j'espère que tu pourras m'aider. Merci

[Flyingsquirrel]

Tu dis "c'est-à-dire pourquoi les nombres c divisant les deux nombres a et b (=les solutions de la première équations) divisent aussi a+b (c'est-à-dire sont des solutions de la seconde équation)." Mais en fait c'est peut être l'inverse que je me demande. Pourquoi tous les c tels que c/a+b ne divisent pas TOUS a et b, alors qu'au départ on a c/a et c/b

C'est parce qu'on ne raisonne pas par équivalence. La condition « et » est équivalente (c'est très facile à montrer) à « et », autrement dit les solutions du problème sont exactement les nombres tels que « et » (toutes les solutions vérifient cette condition et tous les nombres vérifiant cette condition sont des solutions). Quand on dit que « et » implique que « », on omet la condition « » (on perd une information sur ). Comme il y a plus de nombres qui vérifient la condition « » que la condition « et », on obtient plus de valeurs possibles pour : les nombres divisant peuvent soit diviser (ce sont ces nombres qui donnent les solutions du problème initial) soit ne pas le diviser (dans ce cas ils ne sont pas des solutions du problème initial).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite476719f2]

Merci pour la réponse, j'y vois un peu plus clair mais il me reste quelques ambiguités:

C'est parce qu'on ne raisonne pas par équivalence. La condition « et » est équivalente (c'est très facile à montrer) à « et », autrement dit les solutions du problème sont exactement les nombres tels que « et » (toutes les solutions vérifient cette condition et tous les nombres vérifiant cette condition sont des solutions).

Ca ok je crois que c'est à peu près clair.

Quand on dit que « et » implique que « », on omet la condition « » (on perd une information sur ). Comme il y a plus de nombres qui vérifient la condition « » que la condition « et », on obtient plus de valeurs possibles pour : les nombres divisant peuvent soit diviser (ce sont ces nombres qui donnent les solutions du problème initial) soit ne pas le diviser (dans ce cas ils ne sont pas des solutions du problème initial).

Là j'avoue que j'ai quelques difficultés à adhérer. En fait je crois voir ce que tu veux dire mais je comprends pas pourquoi précisément, tu dis qu'on a "c/a et c/b" mais qu'après dans l'implication on a plus que "c/a+b" et qu'on a perdu l'information "c/b".
Pour faire clair et simple, j'arrive pas à comprendre le fait que dans ton exemple, par hypothèse on a "c/b" mais que ce n'est pas pour autant une information...

Je sais pas si je suis complètement à coté de la plaque ou juste un peu embrouillé mais bon... Bref si tu peux toujours m'aider, merci d'avance.

[Flyingsquirrel]

Pour faire clair et simple, j'arrive pas à comprendre le fait que dans ton exemple, par hypothèse on a "c/b" mais que ce n'est pas pour autant une information...

Je n'aurais peut-être pas dû employer le terme « information ». Si je l'ai utilisé c'est pour te faire sentir pourquoi il y a plus de nombres divisant seulement que de nombres divisant à la fois et . Dans le premier cas on a une seule condition sur : il doit diviser . Dans le second cas on a deux conditions (donc « plus d'informations » sur ) : il doit diviser comme précédemment mais il doit aussi diviser , il y a donc forcément moins de solutions que dans le premier cas.

Si ce n'est toujours pas clair n'hésites pas à le dire.